¿Es Dios un Matemático? (36 page)

En tales casos, parecerá que la emisión de radio se emite en pulsos (de ahí el nombre «pulsar»). A veces, dos pulsares giran alrededor de su centro de gravedad común en una órbita reducida, creando así un sistema de pulsar doble. Estos pulsares dobles constituyen excelentes laboratorios para la verificación de la relatividad general debido a dos de sus propiedades:

(i) Los radiopulsares son espléndidos relojes; su ritmo de rotación es tan estable que, de hecho, superan en precisión a los relojes atómicos.

(ii) Los pulsares son tan compactos que sus campos gravitatorios son muy intensos y producen efectos relativistas significativos. Debido a estas dos características, los astrónomos pueden medir con gran precisión los cambios en el tiempo que la luz tarda en recorrer la distancia entre los pulsares y la Tierra debido al movimiento orbital de dos pulsares en su campo gravitatorio mutuo.

La comprobación más reciente ha sido el resultado de mediciones temporales de gran precisión a lo largo de un período de dos años y medio en el sistema de pulsar doble denominado PSR J0737-3039A/B (esta denominación con aspecto de número telefónico refleja las coordenadas celestes del sistema).
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Los dos pulsares de este sistema completan una revolución en sólo dos horas y veintisiete minutos, y el sistema se halla a unos dos mil años luz de distancia de la Tierra (un año luz es la distancia que la luz recorre en un año, alrededor de nueve billones de kilómetros). Un equipo de astrónomos dirigido por Michael Kramer, de la Universidad de Manchester, midió las correcciones relativistas al movimiento newtoniano. Los resultados, publicados en octubre de 2006, se ceñían a los valores predichos por la relatividad general con un grado de incertidumbre ¡del 0,05 por 100!

Vale la pena señalar que tanto la relatividad especial como la general desempeñan un papel importante en los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS) que nos permiten localizar nuestra posición en la superficie de la Tierra y nos indican el mejor trayecto, ya sea en coche, en avión o a pie. El GPS determina la posición actual del receptor mediante la medida del tiempo que tarda en llegar a él la señal de diversos satélites y efectuando una triangulación a partir de las posiciones conocidas de cada satélite. La relatividad especial predice que los relojes atómicos que se encuentran en los satélites marchan algo más lentos (unas millonésimas de segundo al día) que los que están en el suelo, debido a su movimiento relativo. Al mismo tiempo, la relatividad general predice que los relojes de los satélites marchan más rápido (unas decenas de millonésimas de segundo al día) que los del suelo porque, a gran altura sobre la superficie de la Tierra, la curvatura del espacio-tiempo debida a la masa de la Tierra es menor. Si no se efectuasen las correcciones pertinentes de ambos efectos, los errores de posicionamiento global podrían acumularse a un ritmo de más de ocho kilómetros al día.

La teoría de la gravedad no es más que uno de los numerosos ejemplos que ilustran la «milagrosa» idoneidad y fantástica precisión de la formulación matemática de las leyes de la naturaleza. En este caso, como en muchos otros, lo que las ecuaciones nos proporcionan va mucho más allá de lo que era la intención original. La exactitud de las teorías de Newton y Einstein ha demostrado superar en gran medida la precisión de las observaciones a las que las teorías intentaban originalmente dar explicación.

Quizá el mejor ejemplo de la increíble precisión que es capaz de alcanzar una teoría matemática sea el que proporciona la electrodinámica cuántica (QED,
Quantum Electrodynamics)
, que es la teoría que describe los fenómenos relacionados con las partículas con carga eléctrica y la luz. En 2006, un grupo de físicos de la Universidad de Harvard determinaron el momento magnético del electrón (que mide la intensidad con la que el electrón interacciona con un campo magnético) con una precisión de ocho partes por billón.
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Por sí mismo, este resultado es una asombrosa proeza experimental. Pero si además se le suma el hecho de que los cálculos teóricos más recientes basados en la QED alcanzan una precisión similar y que los dos resultados coinciden, la exactitud ya es casi increíble. Esta es la reacción de uno de los fundadores de la QED, Freeman Dyson, ante los repetidos éxitos de su teoría: «Me fascina la precisión con la que la Naturaleza baila al son de la melodía que garabateamos de forma tan despreocupada hace cincuenta y siete años, y la forma en la que los experimentadores y los teóricos pueden medir y calcular el ritmo de su danza hasta una parte por billón».

Pero las teorías matemáticas no destacan sólo por su exactitud; otro de sus puntos fuertes es su poder de predicción. Voy a mencionar un par de ejemplos simples para ilustrar este poder, uno del siglo XIX y otro del siglo XX. El primero predijo un nuevo fenómeno; el segundo, la existencia de nuevas partículas elementales.

James Clerk Maxwell, que formuló la teoría clásica del electromagnetismo, probó en 1864 que su teoría
predecía
que los campos eléctricos o magnéticos variables debían generar ondas de propagación. Estas ondas (las conocidas ondas electromagnéticas, como las ondas de radio) fueron detectadas por primera vez por el físico alemán Heinrich Herz (1857-1894), en una serie de experimentos llevados a cabo en los últimos años de la década de 1880.

A finales de la década de 1960, los físicos Steven Weinberg, Sheldon Glashow y Abdus Salam desarrollaron una teoría que trata de forma unificada la fuerza electromagnética y la fuerza nuclear débil.
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Esta teoría, denominada actualmente teoría
electrodébil,
predecía la existencia de tres partículas (denominadas bosones W
⁺
, W
^-
y Z) que nunca habían sido observadas. Las partículas se detectaron de forma inequívoca en 1983, durante experimentos en acelerador (en los que se hacen chocar partículas subatómicas entre sí a muy altas energías) dirigidos por los físicos Cario Rubbia y Simón van der Meer.

El físico Eugene Wigner, responsable de la frase «la eficacia inexplicable de la matemática», propuso llamar a estos logros inesperados de las teorías matemáticas «la ley empírica de la epistemología» (la epistemología es la disciplina que investiga el origen y los límites del conocimiento). Su razonamiento consistía en que, si esta «ley» no fuese correcta, a los científicos les habría faltado el aliento y la determinación tan necesarios para una exploración profunda de las leyes de la naturaleza. Sin embargo, Wigner no ofrecía explicación alguna para esta «ley empírica de la epistemología», sino que más bien la veía como un «regalo extraordinario» por el que debemos estar agradecidos, aunque no comprendamos su origen. Según Wigner, este «regalo» contiene la esencia de la cuestión sobre la eficacia inexplicable de la matemática.

Creo que, a estas alturas, ya hemos reunido suficientes pistas para intentar responder a nuestras preguntas iniciales: ¿Por qué la matemática es tan eficaz y productiva para explicar el mundo que nos rodea, e incluso es capaz de generar nuevos conocimientos? En última instancia, la matemática ¿es descubierta o inventada?

Las dos preguntas: (i) ¿Tiene la matemática una existencia independiente de la mente humana?, y (ii) ¿Por qué los conceptos matemáticos son aplicables mucho más allá del contexto en el que se desarrollaron originalmente?, están relacionadas entre sí por caminos complejos. Pero, para simplificar el comentario, voy a intentar encararlas una tras otra.

En primer lugar podemos preguntarnos cuál es la posición de los matemáticos actuales sobre la cuestión de si la matemática es un descubrimiento o un invento. En su espléndido libro
The Mathematical Experience,
los matemáticos Philip Davis y Reuben Hersh describen la situación del siguiente modo:
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«La mayor parte de los autores parecen estar de acuerdo en que un matemático típico es platónico (es decir, opina que es un descubrimiento) los días laborables y un formalista (es decir, piensa que es un invento) los domingos. Esto es, cuando el matemático está haciendo matemática, está convencido de que trata con una realidad objetiva cuyas propiedades intenta determinar. En cambio, si se le obliga a dar una versión filosófica de esta realidad, prefiere fingir que, después de todo, no cree en ella».

Aparte de la tentación de hablar de «los matemáticos y las matemáticas» para reflejar los cambios demográficos en la disciplina, tengo la impresión de que esta caracterización sigue siendo cierta para muchos de los actuales matemáticos y físicos teóricos. Sin embargo, algunos matemáticos del siglo XX tomaron un claro partido por una u otra postura. En representación del punto de vista platónico tenemos a G. H. Hardy, que afirma en
A Mathematician's Apology:
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Para mí, y supongo que para la mayoría de los matemáticos, existe otra realidad, a la que llamaré «realidad matemática», y no existe acuerdo alguno acerca de la naturaleza de esta realidad, ni entre los matemáticos ni entre los filósofos. Algunos sostienen que se trata de algo «mental» y que, en cierto sentido, la construimos nosotros; otros opinan que es externa e independiente de nosotros. Si alguien pudiese dar cuenta de la realidad matemática de una forma convincente habría resuelto un gran número de los problemas metafísicos más complejos. Si pudiese incluir la realidad física en su explicación, los habría resuelto todos.

No es mi intención discutir aquí ninguna de estas cuestiones, ni siquiera en el supuesto de que tuviese la competencia para ello, pero, para evitar malentendidos, expondré mi postura de forma dogmática. Creo que la realidad matemática reside fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla y observarla, y que los teoremas que demostramos y que, pecando de grandilocuencia, denominamos «nuestras creaciones», son simples anotaciones de nuestras observaciones. Este ha sido, de uno u otro modo, el punto de vista sostenido por numerosos y reputados filósofos empezando por Platón, y a partir de ahora utilizaré el lenguaje natural de una persona que es partidaria de él.

Los matemáticos Edward Kasner (1878-1955) y James Newman (1907-1966) expresaban justamente la postura contraría en
Mathematics and the Imagination:
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No es sorprendente que el prestigio de la matemática no tenga parangón en ningún otro campo del pensamiento intencional; el número de avances científicos que ha hecho posible hacen que sea a un tiempo indispensable desde un punto de vista práctico y la obra cumbre de la abstracción pura, de modo que el reconocimiento de su papel destacado entre las hazañas intelectuales de la humanidad no es ni más ni menos que el reconocimiento de un mérito real.

Pero, a pesar de esta preeminencia, la primera valoración significativa de la matemática tuvo lugar recientemente, con la aparición de la geometría no euclidiana y la geometría tetradimensional. Eso no significa que se deban minimizar los avances efectuados en el cálculo, la teoría de probabilidades, la aritmética del infinito, la topología y otras ramas que hemos comentado. Cada uno de estos avances ha ampliado la visión de la matemática y profundizado en su significado, así como en nuestra comprensión del universo físico. Sin embargo, ninguno de ellos ha contribuido a la introspección matemática, al conocimiento de las relaciones entre las distintas partes de la disciplina entre sí y con el conjunto en mayor medida que las herejías no euclidianas.

El coraje del espíritu crítico que se halla en la génesis de estas herejías nos ha permitido superar la noción de que las verdades matemáticas tienen una existencia independiente externa a nuestras mentes. Ahora incluso nos parece extraño que tal noción pudiese haber existido. Y sin embargo, es lo que hubiesen creído Pitágoras, Descartes y cientos de otros grandes matemáticos antes del siglo XIX. En la actualidad, la matemática ha roto sus cadenas y se ha liberado de sus fronteras. Sea cual sea su esencia, ahora reconocemos que es tan libre como la mente y tan indómita como la imaginación. La geometría no euclidiana demuestra que la matemática, a diferencia de la música de las esferas, es obra de la mano del hombre y está sujeta únicamente a las limitaciones que le imponen las leyes del pensamiento.

Vemos aquí, en contraste con la precisión y la certeza que caracterizan las afirmaciones matemáticas, una divergencia de opiniones más propia de los debates filosóficos o políticos. Pero esto no debería sorprendernos. La cuestión de si la matemática es inventada o descubierta no es, en realidad, una cuestión matemática.

La noción de «descubrimiento» implica una existencia previa en algún universo, ya sea real o metafísico. El concepto de «invento» implica a la mente humana, ya sea de forma individual o colectiva. Entonces, la pregunta está relacionada con una combinación de disciplinas entre las que pueden hallarse la física, la filosofía, la matemática, la ciencia cognitiva e incluso la antropología, pero desde luego no es exclusiva la matemática (o, al menos, no de forma directa). En consecuencia, es posible que no sean los matemáticos los que mejor puedan responderla. Después de todo, aunque los poetas pueden hacer magia con las palabras, posiblemente no sean los mejores lingüistas, del mismo modo que los filósofos más profundos no suelen ser expertos en las funciones del cerebro. La respuesta a la cuestión «inventada o descubierta» sólo puede proceder (si es que realmente es posible hallarla) de un cuidadoso examen de numerosas claves procedentes de una amplia variedad de disciplinas.

Los que creen que la matemática existe en un universo independiente de los humanos pueden aún dividirse en dos tipos en lo que respecta a la identificación de la naturaleza de este universo.
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En primer lugar se encuentran los «verdaderos» platónicos, para los que la matemática reside en un mundo eterno y abstracto de formas matemáticas. Luego están los que sugieren que las estructuras matemáticas son una parte real del mundo natural. Ya hemos tratado el platonismo puro y algunas de sus limitaciones filosóficas con cierta amplitud, de modo que voy a entrar en detalles acerca de la otra perspectiva.
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Quizá la persona que abogue por la versión más extrema y especulativa de la tesis de «la matemática como parte del mundo físico» sea un compañero astrofísico, Max Tegmark del Massachussets Institute of Technology.