¿Es Dios un Matemático? (32 page)

El plan de Hilbert sacrificaba el significado para aumentar la seguridad de los fundamentos. En consecuencia, para sus seguidores formalistas, la matemática no era más que un juego, pero su finalidad era demostrar rigurosamente que se trataba de un juego totalmente consistente.
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Con todos los avances en axiomatización, la realidad del sueño formalista de la «teoría de la demostración» parecía estar al alcance de la mano.

Sin embargo, no todos tenían fe en que el camino tomado por Hilbert fuese el correcto. Ludwig Wittgenstein (1889-1951), considerado por algunos como el filósofo más notable del siglo XX,
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creía que los esfuerzos de Hilbert y su metamatemática eran, en cierto sentido, una pérdida de tiempo. «No podemos establecer una norma para la aplicación de otra norma», alegaba. En otras palabras, Wittgenstein no creía que la comprensión de un «juego» pudiese depender de la construcción de otro: «Si estoy confuso acerca de la naturaleza de la matemática, ninguna demostración puede ayudarme».
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No obstante, nadie se esperaba el mazazo que estaba a punto de caer. De un solo golpe, Gödel, que por entonces contaba sólo veinticuatro años, atravesó con una estaca el corazón del formalismo. Kurt Gödel (figura 53) nació el 28 de abril de 1906 en la ciudad de Moravia que más tarde se conocería con el nombre checo de Brno.
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En aquel tiempo la ciudad formaba parte del Imperio Austrohúngaro, y Gödel creció en una familia de habla alemana. Su padre, Rudolf Gödel, dirigía una fábrica textil, y su madre, Marianne Gödel, cuidaba de que el joven Kurt recibiese una amplia educación en matemática, historia, idiomas y religión. Durante su adolescencia, Gödel desarrolló interés por la matemática y la filosofía y a los dieciocho años ingresó en la Universidad de Viena, en donde centró principalmente su atención en la lógica matemática. Quedó especialmente fascinado por los
Principia Mathematica
de Russell y Whitehead y por el proyecto de Hilbert, y el tema que eligió para su tesis fue el problema de la completitud. La finalidad básica de esta investigación era determinar si el enfoque formal de Hilbert bastaba para generar todos los enunciados verdaderos de la matemática. Gödel recibió su doctorado en 1930 y un año más tarde publicó sus
teoremas de incompletitud,
que causaron un terremoto en el mundo de la matemática y en el de la filosofía.
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Los dos teoremas, enunciados en un lenguaje estrictamente matemático, sonaban bastante técnicos y no demasiado emocionantes:

1. Cualquier formalización consistente S en la que se puedan efectuar operaciones aritméticas elementales, es incompleta respecto de los enunciados de la aritmética elemental; esto es, hay enunciados cuya verdad o falsedad no se puede demostrar dentro de S.
   
2. Para cualquier formalización consistente S en la que se puedan efectuar operaciones aritméticas elementales, no es posible probar la consistencia de S dentro de S.
   

Aunque las palabras parecen inofensivas, las implicaciones para el proyecto de los formalistas llegaban lejos. Dicho de una forma algo simplificada, los teoremas de incompletitud demostraban que el plan formalista de Hilbert estaba esencialmente condenado al fracaso desde el principio. Gödel demostró que cualquier sistema formal lo bastante potente como para tener algún interés es, de forma inherente, o bien
incompleto
o bien
inconsistente.
Es decir, en el mejor de los casos, siempre habrá enunciados dentro del sistema formal cuya verdad o falsedad no podrán demostrarse. En el peor de los casos, el sistema generará contradicciones. Como, para cualquier enunciado T, T o no T tiene que ser verdadero, el hecho de que un sistema formal finito no pueda demostrar la verdad o falsedad de ciertos enunciados significa que siempre existirán enunciados
verdaderos
que no serán demostrables dentro del sistema. En otras palabras, Gödel demostró que ninguna formalización compuesta por un número finito de axiomas y reglas de inferencia puede abarcar
nunca
todas las verdades de la matemática. A lo más que se puede aspirar es a que las axiomatizaciones más aceptadas sean simplemente incompletas y no inconsistentes.

El propio Gödel creía en la existencia de una noción platónica independiente de verdad matemática. En un artículo publicado en 1947 escribía lo siguiente:

Pero, a pesar de estar tan apartados de la experiencia de los sentidos, sí tenemos una especie de percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se puede deducir del hecho de que los axiomas nos parezcan forzosamente verdaderos. No veo motivo alguno para que debamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción de los sentidos.
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Por una ironía del destino, cuando los formalistas ya se preparaban para cantar victoria, apareció Kurt Gödel (platónico declarado) y hundió la fiesta del proyecto formalista.

El famoso matemático John von Neumann (1903-1957), que en aquella época impartía en sus clases la obra de Hilbert, canceló el resto del curso para dedicar el tiempo que quedaba a los hallazgos de Gödel.

Como persona, Gödel era tan complejo como sus teoremas.
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En 1940 huyó con su esposa Adele de la Austria nazi para ocupar un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, New Jersey. Allí trabó una estrecha amistad con Albert Einstein, a quien solía acompañar en sus paseos. Cuando Gödel solicitó la nacionalización como ciudadano americano en 1948, fueron Einstein y el matemático y economista de la Universidad de Princeton Oskar Morgenstern (1902-1977) quienes le acompañaron a la oficina del Servicio de Inmigración y Naturalización (INS). Lo que aconteció en esta entrevista es de sobra conocido, pero revela hasta tal punto la personalidad de GÖdel que relataré los hechos con todo detalle,
exactamente
como los registró Morgenstern el 13 de septiembre de 1971. Doy las gracias a Ms. Dorothy Morgenstern-Thomas, la viuda de Morgenstern, y al Instituto de Estudios Avanzados por haberme facilitado una copia del documento:

Corría el año 1946 cuando Gödel iba a convertirse en ciudadano americano. Me pidió que fuese su testigo; como segundo testigo propuso a Albert Einstein, que también aceptó de buen grado. Einstein y yo nos habíamos visto ocasionalmente, y ambos teníamos grandes expectativas sobre lo que podía ocurrir antes del proceso de naturalización e incluso durante dicho proceso.

Gödel, a quien veía con frecuencia en los meses previos al acontecimiento, empezó a prepararse de forma muy concienzuda. Gödel era una persona meticulosa, así que empezó a estudiar la historia de la colonización de Norteamérica por el ser humano. Eso le condujo al estudio de la historia de los indios americanos, sus diversas tribus, etc. Me llamó numerosas veces por teléfono para que le aconsejase libros, que leía con suma atención. Gradualmente surgieron muchas preguntas y dudas sobre la corrección de estas historias y las peculiares circunstancias que en ellas se revelaban. A partir de ahí y durante las semanas posteriores, Gödel pasó a estudiar historia americana, haciendo particular hincapié en temas de derecho constitucional. Esto le condujo a su vez al estudio de Princeton, y en especial quiso que yo le explicase dónde estaba la frontera entre el distrito y el municipio. Por supuesto, yo intenté hacerle comprender que esto era totalmente innecesario, pero fue en vano. El insistía en averiguar todos aquellos datos que quería saber, de modo que le proporcioné la información pertinente, incluso acerca de Princeton. Entonces quiso saber cómo se elegía el Consejo de Distrito, el Consejo Municipal, quién era el alcalde y cómo funcionaba el Consejo Municipal. Pensaba que era posible que le preguntasen acerca de esos asuntos y que, si demostraba que no conocía la ciudad en que vivía, causaría una mala impresión.

Intenté convencerlo de que esas preguntas nunca surgían; de que la mayor parte de las preguntas eran una simple formalidad y él las podría responder sin dificultad alguna; de que, como máximo, podían preguntarle qué sistema de gobierno teníamos en este país, cómo se llamaba la más alta instancia judicial o cosas así. De todos modos, él siguió con su estudio de la Constitución.

Y entonces sucedió algo interesante. Con cierta excitación me dijo que, al examinar la Constitución y para su disgusto, había hallado contradicciones internas y que podía demostrar cómo, de forma perfectamente legal, era posible que alguien se convirtiese en dictador e instaurase un régimen fascista que aquellos que redactaron la Constitución nunca pretendieron. Le dije que era muy improbable que algo así sucediese nunca, aun suponiendo que tuviese razón, cosa que yo, desde luego, dudaba. Pero él era una persona insistente, así que charlamos muchas veces de este asunto concreto. Yo intenté persuadirlo de que evitase referirse a estos temas ante el tribunal de Tren ton, y también se lo comenté a Einstein que, horrorizado de que a Gödel se le hubiese ocurrido una idea así, también le señaló que no debía preocuparse por estas cuestiones ni referirse a ellas.

Pasaron varios meses y, finalmente, llegó la fecha del examen en Trenton. Aquel día pasé a recoger a Gödel en mi coche. Se sentó en el asiento posterior y luego pasamos a recoger a Einstein por su casa de Mercer Street, desde donde nos dirigimos a Trenton. Durante el viaje, Einstein se volvió levemente y preguntó «Y bien, Gödel, ¿estás realmente bien preparado para el examen?» Por supuesto, ese comentario alteró profundamente a Gödel, que era lo que Einstein pretendía; su semblante de preocupación de Gödel le pareció muy gracioso. Cuando llegamos a Trenton nos hicieron entrar en una gran sala y, aunque en general se interroga a los testigos por separado del candidato, se hizo una excepción en deferencia a Einstein y nos invitaron a los tres a sentarnos juntos, con Gödel en el centro. El examinador preguntó primero a Einstein y luego a mí si opinábamos que Gödel sería un buen ciudadano. Le aseguramos que sin duda alguna era así, que se trataba de una persona distinguida, etc. Entonces se volvió hacia Gödel y dijo:

—Bien, Mr. Gödel, ¿de dónde viene usted?

—¿Que de dónde vengo? De Austria.

—¿Qué forma de gobierno tenían en Austria?

—Era una república, pero debido a la constitución la forma cambió a una dictadura.

—¡Vaya! Qué mala fortuna. Eso no podría suceder en este país.

—Claro que sí. Y puedo
demostrarlo.

Así que, de todas las posibles preguntas, el examinador tuvo que formular precisamente la más delicada. Einstein y yo nos mirábamos horrorizados durante esta conversación; el examinador fue lo bastante inteligente para tranquilizar enseguida a Gödel diciendo «Dios mío, no entremos en ese terreno» y, para nuestro alivio, interrumpió el examen en ese mismo momento. Cuando por fin salimos y ya nos dirigíamos hacia los ascensores, un hombre se acercó corriendo hacia nosotros con una hoja de papel y pidió un autógrafo a Einstein, que lo firmó con mucho gusto. Mientras bajábamos en el ascensor, le dije a Einstein «Debe de ser terrible que tantas personas le persigan a uno de este modo». Einstein respondió: «En realidad se trata simplemente de los últimos vestigios de canibalismo». Desconcertado, le pregunté: «¿En qué sentido?». El me dijo: «Verás, antes querían tu sangre, ahora quieren tu tinta».

Luego regresamos a Princeton y, al llegar a la esquina de Mercer Street, le pregunté a Einstein si quería ir al instituto o a casa, a lo que él contestó: «Llévame a casa, de todos modos mi trabajo ya no tiene valor alguno». Y prosiguió con una cita de una canción política americana (por desgracia no recuerdo sus palabras; es posible que la tenga en mis notas, y sin duda la reconocería si alguien sugiriese esa frase en particular). Así que fuimos hacia la casa de Einstein de nuevo. Einstein se volvió de nuevo hacia Gödel y le dijo:

—Bueno, Gödel, éste ha sido tu penúltimo examen.

—Cielos, ¿es que aún queda otro? —dijo él, de nuevo azorado.

Y Einstein le contestó:

—Gödel, el próximo examen será cuando entres andando en tu tumba.

—Pero Einstein, yo no entraré andando en mi tumba. A lo que Einstein repuso:

—¡Ahí está la gracia precisamente, Gödel! —Y se fue. Luego llevé a GÖdel a su casa. Todo el mundo sintió un gran alivio al resolver de una vez por todas este peliagudo asunto; ahora, Gödel tenía de nuevo la cabeza libre para cavilar sobre problemas de filosofía y lógica.
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Años después, Gödel sufriría episodios de enfermedad mental que acabaron en su rechazo a comer. Murió el 14 de enero de 1978 de desnutrición y agotamiento. Es un error muy extendido pensar que los teoremas de incompletitud de Gödel implican que algunas verdades no se conocerán jamás. Tampoco podemos deducir de ellos que la capacidad del entendimiento humano está limitada de algún modo. En realidad, los teoremas demuestran únicamente los puntos débiles y los inconvenientes de los sistemas formales. Por tanto, quizá resulte sorprendente saber que, a pesar de la colosal trascendencia de los teoremas en la filosofía de la matemática, su impacto sobre la eficacia de ésta como mecanismo de construcción de teorías ha sido, en realidad, bastante nimio. De hecho, durante las décadas que siguieron a la publicación de la demostración de Gödel, la matemática alcanzó algunos de sus más espectaculares éxitos en las teorías físicas del universo. Lejos de quedar abandonada por falta de fiabilidad, la matemática y sus conclusiones lógicas se hicieron cada vez más esenciales para la comprensión del cosmos. Sin embargo, eso significaba que el misterio de la «inexplicable eficacia» de la matemática se hizo aún más insondable. Vamos a reflexionar: imaginemos lo que hubiera sucedido si el empeño logicista se hubiese visto coronado por el éxito. Esto habría implicado que la matemática deriva por completo de la lógica; literalmente, de las leyes del pensamiento. Pero ¿cómo es posible que una ciencia tan puramente deductiva se adapte de esa forma maravillosa a los fenómenos naturales? ¿Cuál es la relación entre la lógica formal (podríamos incluso decir la lógica formal humana) y el cosmos? Después de Hilbert y Gödel, la respuesta a estas preguntas seguía siendo borrosa. Ahora, todo lo que teníamos era un «juego» formal incompleto expresado en lenguaje matemático.
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¿Cómo pueden los modelos basados en un sistema tan «poco fiable» penetrar con profundidad en el enigma del universo y su funcionamiento? Antes de intentar dar respuesta a estas preguntas, voy a afinarlas un poco más por el método de examinar algunos casos prácticos que demuestran la sutileza de la eficacia de la matemática.