¿Es Dios un Matemático? (31 page)

En los
Principia,
Russell y Whitehead defendían la postura de que la matemática era, básicamente, una elaboración de las leyes de la lógica, y que no existía una clara frontera entre ambas.
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Sin embargo, para llegar a una descripción consistente consigo misma, aún debían controlar las antinomias o paradojas (además de la paradoja de Russell se habían descubierto otras). Para ello era necesario realizar algunos malabarismos lógicos de envergadura. Russell argumentaba que el origen de estas paradojas se reducía a un «círculo vicioso» en el que se definían entidades en términos de una clase de objetos que
contenía la entidad definida.
En palabras de Russell: «Si digo "Napoleón poseía las cualidades que definen a un gran general", deberé definir "cualidades" de modo que no incluya lo que estoy diciendo; es decir, "tener las cualidades que definen a un gran general" no debe ser una cualidad en el sentido que suponemos».

Con el fin de evitar la paradoja, Russell propuso una
teoría de tipos
en la que una clase (o conjunto) pertenece a un tipo lógico superior que aquel al que pertenecen sus miembros.
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Por ejemplo, todos los jugadores individuales del equipo de fútbol Dallas Cowboys serían del tipo 0. El propio equipo Dallas Cowboys, que es una clase de jugadores, sería del tipo 1. La National Football League, que es una clase de equipos, sería del tipo 2; una colección de ligas (si existiese) sería del tipo 3, etc. En este esquema, la simple noción de «una clase que es miembro de sí misma» no es verdadera ni falsa, sino que simplemente no tiene sentido. En consecuencia, las paradojas del tipo de la de Russell no se dan jamás.

No cabe duda de que los
Principia
significan una proeza colosal en el campo de la lógica, pero no se les puede considerar los cimientos de la matemática buscados durante tanto tiempo. Para muchos, la teoría de tipos de Russell es una solución bastante artificiosa del problema de las paradojas que, además, genera ramificaciones de una inquietante complejidad.
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Por ejemplo, los números racionales (es decir, las fracciones simples) resultan ser de un tipo superior que los números naturales. Para evitar en parte estas complicaciones, Russell y Whitehead introdujeron un axioma adicional, denominado
axioma de reducibilidad,
que por sí mismo generó una cierta controversia y desconfianza.

Los matemáticos Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel sugirieron posteriormente métodos más elegantes para librarse de las paradojas. De hecho, consiguieron axiomatizar de forma consistente la teoría de conjuntos y reproducir la mayor parte de los resultados de la teoría. Esto parecía satisfacer, al menos parcialmente, el sueño de los platónicos. Si la teoría de conjuntos y la lógica eran, en realidad, dos caras de una misma moneda, una base sólida para la teoría de conjuntos implicaba una base sólida para la lógica. Además, si era cierto que la mayoría de la matemática surgía de la lógica, esto concedía a la matemática una especie de certidumbre objetiva. Por desgracia, los platónicos tuvieron que suspender pronto sus celebraciones, poique estaban a punto de sufrir un grave caso de
déjà vu.

En 1908, el matemático alemán Ernst Zermelo
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(1871-1953) siguió un camino similar al que Euclides había abierto alrededor del año 300 a.C. Euclides formuló algunos postulados no demostrados pero, supuestamente, evidentes por sí mismos, acerca de puntos y líneas, y construyó la geometría basándose en esos axiomas. Zermelo, que había descubierto la paradoja de Russell por su cuenta nada menos que en 1900, propuso una forma de construir la teoría de conjuntos sobre una base axiomática similar. Su teoría sorteaba la paradoja de Russell mediante una cuidadosa elección de principios de construcción que evitaban ideas contradictorias como «el conjunto de todos los conjuntos». El esquema de Zermelo fue posteriormente ampliado por el matemático israelí Abraham Fraenkel
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(1891-1965) para constituir lo que ahora se denomina la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (John von Neumann agregó algunos otros cambios importantes en 1925). Todo habría sido casi perfecto (aún tenía que demostrarse la consistencia) si no hubiese sido por algunas molestas sospechas. Había un axioma (el
axioma de elección)
que, igual que el famoso «quinto» de Euclides estaba causando a los matemáticos un verdadero dolor de cabeza. En palabras simples, el axioma de elección dice: «Si
X
es una colección de conjuntos no vacíos, podemos elegir un miembro de cada uno de los conjuntos de
X
para formar un nuevo conjunto,
Y
».
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Esta afirmación es obviamente cierta si la colección
X
no es infinita. Si tenemos 100 cajas y cada una de ellas contiene al menos una canica, podemos elegir sin problemas una canica de cada caja para formar un conjunto
Y
que contenga 100 canicas. En un caso como éste no necesitamos ningún axioma especial: podemos
demostrar
que esta elección es posible. La afirmación es cierta incluso para colecciones
X
infinitas, siempre que podamos
especificar con precisión
cómo efectuamos la elección. Imaginemos, por ejemplo, una colección infinita de conjuntos no vacíos de números naturales. Los miembros de esta colección pueden ser conjuntos como {2, 6, 7}, {1, 0}, (346, 5, 11, 1.257}, {todos los números naturales entre 381 y 10.457}, etc. Sin embargo, la cuestión es que en todo conjunto de números naturales siempre hay un miembro que es el menor. Nuestra elección podría, pues, describirse de forma única así: «De cada conjunto elegimos el elemento menor.» En tal caso podemos de nuevo evitar la necesidad del axioma de elección. El problema se plantea, en colecciones infinitas, en los casos en los que no podemos realmente caracterizar la elección. En tales circunstancias, el proceso de elección simplemente no se acaba nunca, y la existencia de un conjunto que consta exactamente de un elemento de cada uno de los miembros de la colección
X
se convierte en una cuestión de fe.

Desde su creación, el axioma de elección ha generado una notable controversia entre los matemáticos. El hecho de que el axioma asevere la existencia de determinado objeto matemático (esto es, la elección) sin ofrecer ningún ejemplo tangible de ese objeto ha atraído críticas feroces, especialmente de los adeptos a la escuela de pensamiento denominada
constructivismo
(relacionada filosóficamente con el intuicionismo). Los constructivistas sostenían que cualquier cosa que existe debe ser explícitamente consumible. Otros matemáticos tendían también a evitar el axioma de elección y utilizar sólo el resto de los axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel.

Debido a los aparentes problemas del axioma de elección, los matemáticos empezaron a preguntarse si éste se podría demostrar o refutar utilizando los demás axiomas. La historia del quinto axioma de Euclides se estaba, literalmente, repitiendo. A finales de los años treinta se ofreció una solución parcial. Kurt Gödel (1906-1978), uno de los lógicos más influyentes de la historia, demostró que el axioma de elección y otra famosa conjetura formulada por Cantor, denominada
hipótesis del continuo
,
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eran consistentes con los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel. Es decir, ninguna de las dos hipótesis podía refutarse mediante los otros axiomas estándar de la teoría de conjuntos. El matemático americano Paul Cohen
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(1934-2007) —que por desgracia falleció mientras yo escribía este libro— presentó pruebas adicionales en 1963 que establecían la completa
independencia
del axioma de elección y de la hipótesis del continuo. En otras palabras, el axioma de elección
no podía ser demostrado ni refutado
a partir del resto de los axiomas de la teoría de conjuntos. De forma similar, la hipótesis del continuo no podía ser demostrada ni refutada a partir del mismo grupo de axiomas, aunque se incluyese el axioma de elección.

Este resultado tuvo espectaculares consecuencias en filosofía. Como en el caso de las geometrías no euclidianas, en el siglo XIX no había una única teoría de conjuntos definitiva ¡sino cuatro, al menos! Se podían plantear hipótesis distintas sobre los conjuntos infinitos y acabar con teorías de conjuntos mutuamente excluyentes. Por ejemplo, se podía suponer que el axioma de elección y la hipótesis del continuo se cumplían —y se obtenía una versión o bien suponer que ninguno de los dos se cumplía —y se llegaba a una teoría totalmente diferente—. También se llegaba a dos teorías de conjuntos distintas si se asumía la validez de uno de los axiomas y se negaba la del otro.

De nuevo hacía su aparición una crisis como la de las geometrías no euclidianas, pero aún peor. Debido al papel fundamental de la teoría de conjuntos como posible base para la totalidad de la matemática, el problema para los platónicos era mucho más grave. Si, en efecto, se podían formular varias teorías de conjuntos con sólo elegir una colección de axiomas diferente, ¿no daba eso fuerza a la tesis de que la matemática no era más que una invención humana? La victoria de los formalistas parecía prácticamente segura.

Mientras que a Frege le preocupaba sobre todo el
significado
de los axiomas, al principal promotor del formalismo, el gran matemático alemán David Hilbert (1862-1943; figura 52) propugnaba evitar por completo cualquier interpretación de las fórmulas matemáticas.

Hilbert no tenía interés alguno en cuestiones como si la matemática podía derivarse de las nociones de la lógica. Para él, la matemática consistía en realidad en un conjunto de fórmulas sin sentido, modelos estructurados compuestos de símbolos arbitrarios.
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Hilbert asignó la tarea de garantizar la solidez de los
cimientos
de la matemática a una nueva disciplina a la que denominó «metamatemática». Esto es, la metamatemática trataba del uso de los propios métodos del análisis matemático para demostrar la consistencia de todo el proceso formal de derivación de teoremas a partir de axiomas mediante estrictas reglas de inferencia. Dicho de otro modo, Hilbert opinaba que podía demostrar matemáticamente que la matemática funcionaba. Según sus propias palabras:

La meta de mis investigaciones sobre los nuevos fundamentos de la matemática es la siguiente: eliminar de una vez por todas la duda general acerca de la fiabilidad de la inferencia matemática … Todo aquello que constituía la matemática será formalizado con el máximo rigor de modo que la matemática propiamente dicha o en sentido estricto se convierta en un conjunto de fórmulas … Aparte de la formalización de la matemática propiamente dicha, existe una matemática que es, hasta cierto punto, nueva: una metamatemática necesaria para salvaguardar la matemática y en la cual (a diferencia de los modos puramente formales de inferencia en la matemática propiamente dicha) se aplica la inferencia con textual, pero únicamente para demostrar la consistencia de los axiomas … Así, el desarrollo de la ciencia matemática en su conjunto tiene lugar de dos formas que se alternan constantemente: por un lado, derivamos fórmulas demostrables a partir de los axiomas mediante inferencia formal; por otro, incorporamos nuevos axiomas y demostramos su consistencia por inferencia contextual.
^[222]