¿Es Dios un Matemático? (39 page)

Es lícito seguir preguntándose por la uniformidad de la matemática, tanto en términos temáticos como de notación simbólica. La primera parte de esa pregunta es especialmente enigmática. Casi todos los matemáticos opinan que la matemática tal como la conocemos ha evolucionado a partir de las ramas básicas de la geometría y la aritmética practicadas en las antiguas civilizaciones de Babilonia, Egipto y Grecia. No obstante, ¿era realmente inevitable que los inicios de la matemática se hallasen precisamente en esas disciplinas? En su monumental trabajo
Un nuevo tipo de ciencia,
el científico computacional Stephen Wolfram sostenía que no tenía por qué ser así.
^[276]
En concreto, Wolfram demostraba cómo, a partir de conjuntos de reglas básicas que actúan como breves programas informáticos (lo que se denomina
autómatas celulares)
es posible desarrollar un tipo de matemática radicalmente distinto. Estos autómatas celulares se podrían utilizar (en principio) como herramientas básicas para modelar los fenómenos naturales, en sustitución de las ecuaciones diferenciales que han dominado las ciencias durante tres siglos. Entonces, ¿qué fue lo que hizo que las antiguas civilizaciones descubriesen e inventasen nuestro «tipo» determinado de matemática? No estoy seguro, pero creo que las particularidades del sistema de percepción de los seres humanos pueden haber tenido un papel fundamental en ello. Los humanos detectan y perciben con facilidad aristas, líneas rectas y curvas suaves. Obsérvese, por ejemplo, la precisión con la que se puede determinar a simple vista si una línea es perfectamente recta o el poco esfuerzo que cuesta distinguir entre un círculo y una forma ligeramente elíptica. Estas capacidades perceptivas pueden haber modelado nuestra experiencia del mundo y, por tanto, habernos guiado hacia una matemática basada en objetos discretos (aritmética) y figuras geométricas (geometría euclidiana).

En cuanto a la uniformidad de la notación simbólica, quizá sea un resultado de lo que se podría denominar «efecto Microsoft Windows»: todo el mundo utiliza el sistema operativo de Microsoft, no porque fuese inevitable conformarse a ese estándar, sino porque, una vez que el sistema operativo empezó a dominar el mercado de ordenadores, todos tuvieron que adoptarlo para facilitar las comunicaciones y la disponibilidad de los productos. De forma similar, la notación simbólica occidental ha impuesto su uniformidad en el mundo de la matemática.

La astronomía y la astrofísica pueden aún ofrecer interesantes contribuciones a la cuestión del «invento y descubrimiento». Los estudios más recientes de planetas extrasolares parecen indicar que alrededor del 5 por 100 de las estrellas poseen al menos un planeta girando a su alrededor, y que esta proporción permanece, en promedio, aproximadamente constante en toda la Vía Láctea. No se sabe aún qué proporción de estos planetas es
similar a la Tierra,
pero es posible que la galaxia contenga miles de millones de ellos. Aunque sólo una parte pequeña (pero no despreciable) de esas Tierras estuviesen en la
zona habitable
(el intervalo de órbitas que permiten la existencia de agua en estado líquido en la superficie) de sus estrellas, la probabilidad de que se desarrolle en esos planetas vida en general y, en particular, vida inteligente, no es nula. Si descubriésemos otra forma de vida inteligente
con la que podernos comunicar,
obtendríamos valiosísima información acerca de los formalismos que esta civilización habría desarrollado para explicar el cosmos. Esto supondría, no sólo un colosal avance en nuestra comprensión acerca del origen y la evolución de la vida, sino que nos permitiría comparar nuestro sistema lógico con el de estos avanzados seres.

Desde un punto de vista más especulativo, ciertos escenarios cosmológicos (por ejemplo, el denominado de
inflación eterna)
predicen la posible existencia de múltiples universos. Algunos de estos universos pueden caracterizarse por poseer no sólo valores distintos de las constantes de la naturaleza (como la intensidad de las distintas fuerzas o las relaciones entre las masas de las partículas subatómicas) sino incluso leyes naturales completamente distintas. El astrofísico Max Tegmark sostiene que incluso debería haber un universo que correspondiese a (o, en su lenguaje, que
fuese)
cada posible estructura matemática.
^[277]
En tal caso, estaríamos hablando de una forma radical de la perspectiva «el universo
es
la matemática»; no sólo hay un mundo que se puede identificar con la matemática, sino un conjunto de ellos. Por desgracia, esta especulación no sólo es extremadamente radical e imposible de comprobar; también parece contradecir (al menos, en su forma más simple) lo que se ha dado en denominar
principio de mediocridad
.
^[278]
Como describí en el capítulo 5, si se elige una persona al azar en la calle, la probabilidad de que su altura se encuentre dentro de dos desviaciones estándar de la altura media es del 95 por 100. Se puede aplicar un argumento similar a las propiedades de los universos. Pero el número de posibles estructuras matemáticas se incrementa de forma espectacular al aumentar la complejidad. Esto se traduce en que la estructura más «mediocre» (más cercana a la media) debería de ser increíblemente compleja, lo que parece contradecir la relativa simplicidad de nuestra matemática y de nuestras teorías del universo e incumplir así las naturales perspectivas de que nuestro universo debería de ser un caso típico.

La pregunta «La matemática ¿es descubierta o inventada?» no está bien formulada, porque implica que la respuesta debe ser una o la otra y que ambas posibilidades se excluyen mutuamente. Mi sugerencia es que la matemática es en parte inventada y en parte descubierta. Lo habitual es que los seres humanos inventen los conceptos matemáticos y descubran las relaciones entre estos conceptos. Ciertos descubrimientos empíricos se efectuaron sin duda antes de la formulación de los conceptos, pero los propios conceptos ofrecieron un incentivo para el descubrimiento de teoremas adicionales. También se debe mencionar que ciertos filósofos de la matemática, como el norteamericano Hilary Putnam, adoptan una posición intermedia denominada
realismo:
^[279]
creen en la objetividad del discurso matemático (es decir, las frases son ciertas o falsas, y lo que hace que lo sean es externo a los seres humanos) sin comprometerse (a diferencia de los platónicos) con la existencia de «objetos matemáticos». La cuestión es la siguiente: ¿ofrece alguna de estas perspectivas una explicación satisfactoria del enigma de Wigner acerca de la «eficacia inexplicable» de la matemática?

Antes de responder, examinaré algunas de las posibles soluciones formuladas por algunos pensadores contemporáneos.
^[280]
El premio Nobel de Física David Gross escribe:
^[281]

…un punto de vista que, según mi experiencia, no es inusual entre los matemáticos creativos, a saber, que las estructuras matemáticas que alcanzan no son creaciones de la mente humana, sino que están dotadas de una característica de naturaleza propia tan real como las estructuras creadas por los físicos para describir el mundo denominado real. Dicho de otra forma, los matemáticos no inventan nueva matemática, sino que la descubren. Si éste fuera el caso, quizá una parte de los enigmas que venimos explorando* [* La «eficacia inexplicable».
(N. del a.)
] no sean en realidad tan misteriosos. Si la matemática versa sobre estructuras que forman parte real del mundo natural, tan real como los conceptos de la física teórica, no es sorprendente que se trate de una herramienta eficaz en el análisis del mundo real.

Dicho de otro modo, la postura de Gross es una versión de la perspectiva «matemática como descubrimiento» que se halla en algún punto intermedio entre el mundo platónico y el mundo de «el universo
es
matemática» (aunque más próxima al punto de vista platónico). Sin embargo, como hemos podido ver, es complicado apoyar el punto de vista de «matemática como descubrimiento». Es más: el platonismo no puede dar respuesta a la fabulosa precisión que he descrito en el capítulo 8 (algo que el propio Gross ha reconocido).

Sir Michael Atiyah, cuya perspectiva acerca de la
naturaleza
de la matemática comparto en general, plantea el siguiente argumento:
^[282]

Si se observa el cerebro en su contexto evolutivo, el misterioso éxito de la matemática dentro de las ciencias físicas queda explicado, al menos parcialmente. El cerebro ha evolucionado para tratar con el mundo físico, de modo que no debería sorprendernos que haya desarrollado un lenguaje, la matemática, adecuado para esta finalidad.

Este tipo de razonamiento es muy similar a las soluciones propuestas por los científicos cognitivos. Sin embargo, Atiyah reconoce también que no se trata de una explicación satisfactoria para los aspectos más peliagudos del problema (por ejemplo, la forma en que la matemática arroja luz sobre los aspectos más esotéricos del mundo físico) y, en particular, deja completamente en el aire la cuestión de lo que he venido denominando
eficacia pasiva
(es decir, los conceptos matemáticos que hallan aplicación tiempo después de su invención). Señala Atiyah: «El escéptico puede argumentar que la lucha por la supervivencia sólo nos exige enfrentarnos a fenómenos en la escala humana; sin embargo, la teoría matemática parece ser eficaz en todas las escalas, de la atómica a la galáctica». A lo que sugiere: «Puede que la única explicación resida en la naturaleza jerárquica abstracta de la matemática, que nos permite subir y bajar en la escala del mundo de forma comparativamente sencilla».

El matemático y científico computacional norteamericano Richard Hamming (1915-1998) hizo extensas e interesantes aportaciones al debate del enigma de Wigner en 1980.
^[283]
En primer lugar, acerca de la naturaleza de la matemática, su conclusión era: «La matemática ha sido fabricada por el hombre y es, por tanto, susceptible de ser continuamente alterada por él». A continuación proponía cuatro posibles respuestas para la eficacia inexplicable: (i) los efectos de selección; (ii) la evolución de las herramientas matemáticas; (iii) el poder de explicación limitado de la matemática, y (iv) la evolución del ser humano.Voy a explicar brevemente lo que Hamming quiere decir en cada una de estas respuestas y señalar los posibles puntos débiles. Los efectos de selección son sesgos en los resultados de los experimentos, provocados por la instrumentación o por la metodología utilizadas. Por ejemplo, un pescador que utilice una red con agujeros de 25 centímetros de diámetro puede llegar a la conclusión de que todos los peces miden más de 25 centímetros. Dicho de otra forma, lo que Hamming sugiere es que, en ciertos casos, «el fenómeno original surge de las propias herramientas matemáticas utilizadas, y no del mundo real … una gran parte de lo que vemos está relacionado con el color del cristal con el que miramos». Para ilustrar su argumento indica que se puede mostrar que cualquier fuerza que emane simétricamente de un punto (y conserve la energía) en el espacio de tres dimensiones debe seguir una ley del cuadrado inverso, de modo que no es sorprendente que la ley de gravitación de Newton sea aplicable. Aunque el argumento de Hamming es correcto, los efectos de selección no son capaces de explicar el fantástico nivel de precisión de algunas teorías.

La segunda posible solución de Hamming se basa en el hecho de que los seres humanos seleccionan y mejoran de forma continua la matemática para que se adapte a situaciones concretas. En otras palabras, Hamming propone que estamos asistiendo a lo que podríamos llamar una «evolución y selección natural» de las ideas matemáticas: los humanos inventan un gran número de conceptos matemáticos y sólo se seleccionan los más aptos. Durante años yo mismo he creído que este argumento ofrecía una explicación completa. El premio Nobel de Física Steven Weinberg proponía una interpretación similar en su libro
El sueño de una teoría final.
^[284]
¿Podría ser ésta
la explicación
del enigma de Wigner? No cabe la menor duda de que, en efecto, estos procesos de selección y evolución tienen lugar. Después de filtrar numerosos formalismos y herramientas matemáticas, los científicos conservan las que funcionan y las actualizan y modifican a medida que surgen otras mejores. Pero, aunque aceptemos esta idea, ¿por qué
existen
teorías matemáticas capaces de explicar el universo?

El tercer argumento de Hamming es que nuestra impresión de la eficacia de la matemática puede ser, de hecho, ilusoria, ya que una gran parte del mundo que nos rodea no puede explicarse mediante la matemática. Esta perspectiva toma fuerza, por ejemplo, en esta cita del matemático Israïl Moiseevich Gelfand:
^[285]
«Sólo hay una cosa que sea más inexplicable que la inexplicable eficacia de la matemática en física, y es su inexplicable
ineficacia
en biología». (Las cursivas son mías.) Pero no creo que esto baste para dar explicación al problema de Wigner. Es cierto que, a diferencia de lo que sucede en la
Guía del autoestopista galáctico,
no podemos decir que la respuesta a la vida, el universo y todo lo demás sea 42. Sin embargo, el número de fenómenos que la matemática
sí
ayuda a dilucidar es lo bastante grande como para justificar una explicación. Es más: la variedad de hechos y procesos que se pueden interpretar desde un punto de vista matemático no hace más que ampliarse continuamente.

Hamming tomó en consideración una posible cuarta explicación, muy similar a la que había sugerido Atiyah: que la «evolución darwiniana seleccionaría de forma natural para su supervivencia las formas de vida en competición que tuviesen en su mente los mejores modelos de la realidad, siendo «los mejores» los más aptos para la supervivencia y la propagación.

El científico computacional Jef Raskin (1943-2005), uno de los iniciadores del proyecto Macintosh para Apple Computer, tenía un punto de vista similar, con especial énfasis en la función de la lógica. Su conclusión era que:

La lógica humana nos ha sido impuesta por el mundo físico y es, por tanto, coherente con él. La matemática deriva de la lógica, y por ese motivo es coherente con el mundo físico. No es ningún misterio, pero eso no significa que debamos perder nuestra capacidad de sorprendernos y maravillarnos ante la naturaleza a medida que llegamos a comprenderla mejor.