¿Es Dios un Matemático? (34 page)

En primer lugar, como se muestra en la figura 55, no siempre es fácil determinar si un nudo se ha dibujado con el número mínimo de cruces. En segundo lugar y aún más importante, muchos nudos distintos tienen el mismo número de cruces. Por ejemplo, en la figura 54 hay tres nudos distintos con seis cruces y al menos siete con siete cruces. Así, el número mínimo de cruces no distingue la mayoría de los nudos entre sí. Por último, el número mínimo de cruces, al ser un parámetro tan simple, no ofrece demasiada información sobre las propiedades de los nudos en general.

En 1926 tuvo lugar un avance decisivo en la teoría de nudos.
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En ese año, el matemático norteamericano James Waddell Alexander (1888-1971) descubrió un importante invariante al que se bautizó como
polinomio de Alexander.
Básicamente, el polinomio de Alexander es una expresión algebraica que utiliza la disposición de cruces para etiquetar el nudo. La novedad positiva era que, si dos nudos tenían distintos polinomios de Alexander, los nudos eran definitivamente distintos. El punto negativo, en cambio, era que dos que tuviesen el mismo polinomio podían ser nudos distintos. Por consiguiente, aunque el polinomio de Alexander resultó ser muy útil, aún no era la herramienta perfecta para distinguir nudos.

Los matemáticos estuvieron cuatro décadas explorando la base conceptual del polinomio de Alexander y profundizando en las propiedades de los nudos. Pero ¿por qué dedicaron tanto empeño? Desde luego, no era por razones prácticas. El modelo atómico de Thomson había caído en el olvido tiempo atrás, y ningún otro problema de ciencias, economía, arquitectura u otra disciplina parecía tener necesidad alguna de la teoría de nudos. Entonces, ¿por qué tantos matemáticos dedicaron interminables horas a los nudos? ¡Por simple curiosidad! Para estas personas, la idea de comprender los nudos y los principios subyacentes era, simplemente, bella. El destello de comprensión que representó el polinomio de Alexander era para los matemáticos tan irresistible como el desafío del Everest para George Mallory, que, a la pregunta de por qué quería escalarlo, respondió con la célebre frase «porque está ahí».

A finales de la década de 1960, el prolífico matemático anglonorteamericano John Horton Conway
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descubrió un procedimiento para «desanudar» nudos de forma gradual, revelando así la relación entre los nudos y sus polinomios de Alexander. En concreto, Conway introdujo dos operaciones «quirúrgicas» que podían servir como base para la definición de un invariante de nudo. Las operaciones de Conway, denominadas «volteo»
(flipping)
y «suavizado»
(smoothing)
se describen esquemáticamente en la figura 56.

En el volteo (figura 56a), el cruce se transforma pasando el ramal superior por debajo del inferior (en la figura se indica también cómo se puede llevar a cabo esta transformación con un nudo real en una cuerda). Observe que, por supuesto, el volteo cambia la naturaleza del nudo. Por ejemplo, no es difícil asumir que el nudo de trébol de la figura 54b se convierte en el nudo simple (figura 54a) tras un volteo. La operación de suavizado de Conway elimina por completo el cruce (figura 56b) volviendo a unir los ramales de la forma «incorrecta». A pesar de la obra de Conway y de la nueva información que proporcionó, los matemáticos siguieron convencidos durante casi dos décadas más de la imposibilidad de hallar otras invariantes de nudo (del tipo del polinomio de Alexander). Pero en 1984 la situación cambió de forma espectacular.

El matemático neozelandés-americano Vaughan Jones no estaba estudiando nudos en absoluto, sino que se hallaba explorando un mundo aún más abstracto, el de las entidades matemáticas denominadas
álgebras de Von Neumann.
De forma inesperada, Jones observó que una relación que aparecía en las álgebras de Von Neumann se parecía sospechosamente a una relación de teoría de nudos, y se puso en contacto con Joan Bennan, que trabajaba en teoría de nudos en la Universidad de Columbia, para comentar sus posibles aplicaciones. Un examen detenido de la relación reveló un nuevo invariante para nudos, al que se denominó
polinomio de Jones.
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Enseguida se reconoció que el polinomio de Jones era un invariante más sensible que el polinomio de Alexander. Por ejemplo, distingue entre un nudo y su imagen especular (por ejemplo, los nudos de trébol a derechas y a izquierda de la figura 57), cuyos polinomios de Alexander son idénticos.

Pero lo fundamental es que el descubrimiento de Jones generó un entusiasmo sin precedentes entre las personas que trabajaban en teoría de nudos. El anuncio de un nuevo invariante generó tal oleada de actividad que, de pronto, el mundo de los nudos parecía el parqué de la bolsa en un día en que la Reserva Federal baja inesperadamente los tipos de interés.

El descubrimiento de Jones fue mucho más allá del simple avance en la teoría de nudos. El polinomio de Jones conectó de repente una apabullante variedad de áreas de la matemática y la física, desde la mecánica estadística (que se utiliza, por ejemplo, para estudiar el comportamiento de grandes cantidades de átomos o moléculas) a los grupos cuánticos (una rama de la matemática que tiene que ver con la física del mundo subatómico). Matemáticos de todo el mundo se pusieron febrilmente a la búsqueda de invariantes aún más generales que abarcasen tanto el polinomio de Alexander como el de Jones. Esta carrera tuvo como consecuencia el que quizá sea el resultado más asombroso en la historia de la competencia científica. Pocos meses después de que Jones diese a conocer su nuevo polinomio, cuatro grupos, trabajando de forma independiente y a partir de tres estrategias matemáticas distintas, anunciaron simultáneamente el descubrimiento de un invariante aún más sensible. El nuevo polinomio recibió el nombre de polinomio HOMFLY (o HOMFLYPT), por las iniciales de sus descubridores: Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish y Yetter. Por si fuera poco, aparte de estos cuatro grupos cruzando la línea de meta, dos matemáticos polacos (Przytycki y Traczyk) descubrieron de forma independiente exactamente el mismo polinomio, pero un capricho de correos les impidió publicarlo a tiempo. En consecuencia, el polinomio se denomina también HOMFLYPT, tras agregar las iniciales de los descubridores polacos.

Desde entonces, aunque se han descubierto otros invariantes, la clasificación completa de los nudos se sigue resistiendo. La pregunta de qué nudo se tiene que girar y torcer para producir otro nudo aún no tiene respuesta. El invariante más avanzado descubierto hasta ahora se debe al matemático franco-ruso Maxim Kontsevich, que recibió la prestigiosa medalla Fields en 1998 y el premio Crafoord en 2008 por su obra. Casualmente, en 1998, Jim Hoste del Pitzer College de Claremont, California, y Jeffrey Weeks de Canton, Nueva York, tabularon todos los bucles anudados con 16 o menos cruces. De forma independiente, Morwen Thistle-thwaite de la Universidad de Tennessee en Knoxville produjo una tabulación idéntica. Cada lista contiene exactamente ¡1.701.936 nudos distintos!

Sin embargo, la verdadera sorpresa no fue tanto el avance en la teoría de nudos en sí, sino en la reaparición espectacular e inesperada de la teoría en una amplia variedad de ciencias.
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Como expliqué, la teoría de nudos surgió de un modelo erróneo del átomo. Sin embargo, una vez abandonado ese modelo, los matemáticos no se desanimaron. Por el contrario, se embarcaron con entusiasmo en un camino largo y difícil con el objetivo de comprender los nudos por sí mismos. Puede imaginar su satisfacción cuando la teoría de nudos resultó ser clave para la comprensión de procesos fundamentales en los que participaban las moléculas de la vida. ¿Hay acaso un ejemplo mejor del rol «pasivo» de la matemática en la explicación de la naturaleza?

El ácido desoxirribonucleico o ADN es el material genético de las células. El ADN consta de dos larguísimas hebras entrelazadas y enredadas una sobre la otra millones de veces para formar una doble hélice. A lo largo de estas espinas dorsales, que se pueden imaginar como los listones laterales de una escalera, se alternan los azúcares y los fósforos. Los «peldaños» de la escalera consisten en parejas de bases conectadas por enlaces de hidrógeno de una forma determinada (la adenina sólo enlaza con la timina y la citosina con la guanina, como se muestra en la figura 58).

Cuando una celda se divide, la primera fase es la replicación del ADN, de modo que cada celda hija se quede con una copia. De forma similar, en el proceso de transcripción (en el que la información genética del ADN se copia en el ARN), una sección de la doble hélice del ADN se desenrosca y sólo una de las hebras del ADN actúa como plantilla. Una vez finalizada la síntesis del ARN, el ADN vuelve a enroscarse en la hélice. Ni el proceso de replicación ni el de transcripción son sencillos; sin embargo, el ADN está enroscado de una forma tan compacta (para reducir el espacio de almacenamiento de información) que, si no se desenredase, los procesos de la vida no podrían tener lugar con fluidez. Además, para poder efectuar el proceso de replicación, las moléculas de ADN hijas deben desenredarse y el ADN padre debe en algún momento regresar a su configuración inicial. Los agentes que se encargan de las tareas de desanudar y desenredar son enzimas.
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Las enzimas pueden pasar una hebra de ADN a través de otra rompiéndolas temporalmente y conectando los extremos de forma distinta. ¿Le suena de algo el proceso? Se trata precisamente de las operaciones «quirúrgicas» (representadas en la figura 56) que introdujo Conway para desenmarañar los nudos matemáticos. En otras palabras, desde un punto de vista topológico, el ADN es un nudo complejo que las enzimas deben desanudar para que pueden tener lugar los procesos de replicación y transcripción. Utilizando la teoría de nudos para calcular la dificultad de desanudar el ADN, los investigadores pueden estudiar las propiedades de las enzimas que ejecutan ese trabajo. Y lo que es mejor, mediante técnicas de visualización experimentales como microscopía electrónica y electroforesis en gel, los científicos pueden observar y cuantificar realmente los cambios en el anudado y enlazado del ADN que las enzimas provocan (en la figura 59 se muestra una micrografía electrónica de un nudo de ADN).

El desafío de los matemáticos es deducir los mecanismos de funcionamiento de las enzimas a partir de los cambios observados en la topología del ADN. Adicionalmente, los cambios en el número de cruces del nudo de ADN ofrecen a los biólogos una medida de la
velocidad de reacción
de las enzimas, es decir, el número de cruces por minuto sobre los que puede actuar una enzima en una determinada concentración.