¿Es Dios un Matemático? (30 page)

El álgebra lógica de Boole fue ampliada y mejorada posteriormente por diversos investigadores, pero la persona que sacó el máximo provecho de la similitud entre los conjuntos y la lógica y elevó el concepto a otro nivel fue Gottlob Frege (1848-1925; figura 48).

Friedrich Ludwig Gottlob Frege nació en Wismar, Alemania, en donde su padre y su madre dirigieron, en distintos momentos, una escuela secundaria femenina. Frege estudió matemáticas, física, química y filosofía, primero en la Universidad de Jena y luego, durante dos años más, en la Universidad de Göttingen.

Tras completar su formación empezó a dar clases en Jena en 1874, en donde estuvo enseñando matemáticas durante toda su carrera profesional. Aunque su trabajo de profesor le dejaba poco tiempo libre, Frege se las arregló para publicar su primera obra revolucionaria sobre lógica en 1879.
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Se titulaba
Escritura conceptual: un lenguaje formal para el pensamiento puro modelado según el de la aritmética
(se suele conocer como el
Begriffsschrift)
. En esta obra, Frege desarrollaba un original lenguaje lógico que posteriormente ampliaría en los dos volúmenes de su tratado
Grundgesetze der Arithmetic
(
Leyes básicas de la aritmética
).
^[208]
Lo que Frege tenía planeado en el campo de la lógica era, por un lado, muy específico, pero además extraordinariamente ambicioso. Aunque prestaba atención principalmente a la aritmética, su intención era demostrar que incluso conceptos tan habituales como los números naturales (1, 2, 3…) se podían reducir a construcciones lógicas. Así, Frege creía que
todas las verdades de la aritmética podían demostrarse a partir de unos pocos axiomas de la lógica.
En otras palabras, según Frege, incluso las proposiciones como 1 + 1 = 2 no eran verdades
empíricas,
basadas en la observación, sino que podían derivarse de un conjunto de axiomas lógicos. La influencia del
Begriffsschrift
de Frege ha sido tan notable que el lógico contemporáneo Willard von Orman Quine (1908-2000) escribió: «La lógica es una disciplina antigua y, desde 1879, una disciplina magnífica».

Una idea esencial en la filosofía de Frege era la aseveración de que la verdad es independiente del juicio humano. En sus
Leyes básicas de la aritmética
escribe: «Ser verdadero es distinto de ser tomado por verdadero, ya sea por una persona, muchas o todas, y en ningún caso puede reducirse a ello. No existe contradicción en el hecho de que algo sea verdadero y que todos opinen que es falso. Según yo lo entiendo, las leyes de la lógica no son leyes acerca de creer que algo es verdad, sino leyes de la verdad … Estas [leyes] actúan como fronteras establecidas sobre cimientos eternos que nuestro pensamiento puede sobrepasar, pero en ningún caso desplazar».

Los axiomas lógicos de Frege
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suelen ser de la forma «para todo… si… entonces». Por ejemplo, uno de sus axiomas dice «para todo
p,
si no (no
p)
entonces
p»,
lo que básicamente establece que, si una proposición contradictoria con la que se está discutiendo es falsa, entonces esta última es cierta. Por ejemplo, si no es cierto que no tienes que detener tu coche en una señal de
stop,
entonces con total seguridad debes detenerte en una señal de
stop.
Para desarrollar un «lenguaje» lógico, Frege complementó su conjunto de axiomas con un nuevo e importante aspecto. Sustituyó el estilo tradicional de sujeto/predicado de la lógica clásica por conceptos prestados de la teoría matemática de funciones. Lo explicaré brevemente: en matemática, expresiones como:
f(x) = 3x
+ 1 significan que
f
es una función del argumento
x
y que el valor de la función se puede obtener multiplicando el argumento por tres y sumando uno. Frege definió lo que el denominaba
conceptos
como funciones. Por ejemplo, supongamos que queremos comentar el concepto «comer carne». Este concepto se podría denotar simbólicamente mediante una función
«F(x)»,
y el valor de esta función sería
Verdadero
si
x=
León y
Falso
si
x=
Ciervo. De forma similar, en el caso de los números, el concepto (función) «ser menor que 7» asociaría a
Falso
todos los números mayores o iguales que 7 y a
Verdadero
todos los menores que 7. Frege se refería a los objetos para los que un cierto concepto daba el valor
Verdadero
como objetos que «cumplían» ese concepto.

Como ya he mencionado, Frege estaba convencido de que todas las proposiciones relativas a los números naturales eran cognocibles y derivables únicamente a partir de definiciones y leyes lógicas. En consecuencia, inició su exposición acerca de los números naturales sin exigir ninguna comprensión previa del concepto de «número». Por ejemplo, en el lenguaje lógico de Frege, dos conceptos son
equinuméricos
(en palabras llanas, tienen asociado el mismo número) si hay una correspondencia uno a uno entre los objetos que «cumplen» un concepto y los que cumplen el otro. Es decir, las tapas de cubos de basura son equinuméricas con los propios cubos de basura (si todos ellos tienen tapa), y esta definición no requiere de la definición de «número». Frege introdujo entonces una ingeniosa definición lógica del número cero. Imaginemos un concepto
F
definido como «no idéntico a sí mismo». Puesto que todos los objetos deben ser idénticos a sí mismos, ningún objeto cumple
F.
En otras palabras, para todos los objetos
x, F(x) =
Falso. Frege definió el número común cero como el «número del concepto
F
», y a continuación definió todos los números naturales en términos de unas entidades a las que denominó
extensiones.
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La extensión de un concepto era la
clase
de todos los objetos que cumplían ese concepto. Aunque esta definición puede ser algo difícil de comprender para alguien que no sea lógico, en realidad es bastante simple. Por ejemplo, la extensión del concepto «mujer» era la
clase
de todas las mujeres. Es necesario remarcar que la extensión de «mujer» no es una mujer.

Quizá se pregunte cómo puede esta definición lógica abstracta ayudar a definir algo como, digamos, el número 4. Según Frege, el número 4 era la extensión (o clase) de todos los conceptos que cumplen cuatro objetos. Así, el concepto «ser una pierna de un perro determinado de nombre Snoopy» pertenece a esa clase (y, por consiguiente, al número 4), igual que el concepto «ser abuelo o abuela de Gottlob Frege».

El proyecto de Frege era realmente impresionante, pero sufría de algunos graves inconvenientes. Por un lado, la idea de emplear conceptos (los bloques básicos de construcción del pensamiento) para crear la aritmética era una genialidad. Por otro, Frege omitió algunas incoherencias esenciales en su formalismo. Uno de sus axiomas en particular (el conocido como «Ley básica V») conducía a una contradicción, por lo que fallaba por su base.

El texto de la ley tenía aspecto inocente: afirmaba que la extensión de un concepto
F
es idéntica a la extensión del concepto
G
si, y sólo si, los mismos objetos cumplen
F
y
G
. Pero el 16 de junio de 1902, Bertrand Russell (figura 49) dejó caer la bomba en una carta a Frege en la que señalaba una cierta paradoja que demostraba la incoherencia de la Ley básica V. Por una broma del destino, la carta de Russell llegó justo cuando el segundo volumen de las
Leyes básicas de la aritmética
de Frege iba camino de la imprenta. Frege, horrorizado, se apresuró a agregar al manuscrito la siguiente sincera admisión: «Apenas hay algo más desagradable para un científico que notar cómo los cimientos de su trabajo se resquebrajan justo después de concluirlo. Una carta de Mr. Bertrand Russell me ha colocado en esa posición cuando este trabajo ya estaba casi impreso». Frege dedicó estas elegantes palabras a Russell: «Su descubrimiento de la contradicción me provocó una inmensa sorpresa y casi diría consternación, ya que hizo temblar la base sobre la que pretendía construir la aritmética».

El hecho de que una paradoja pudiese tener este devastador efecto sobre todo un proyecto puede resultar sorprendente a primera vista, pero, en palabras del lógico de la Universidad de Harvard W. V. O. Quine: «En más de una ocasión en la historia el descubrimiento de una paradoja ha forzado una reconstrucción esencial de las bases del pensamiento». La paradoja de Russell representó precisamente una de tales ocasiones.

Una
clase
o
conjunto
no es más que una colección de objetos. Estos objetos no tienen por qué estar relacionados entre sí. Se puede hablar de una clase que contenga todos los elementos siguientes: los periódicos de Albania, el caballo blanco de Napoleón y el concepto de amor verdadero. Los elementos que pertenecen a una cierta clase se denominan
miembros
de esa clase. El matemático alemán Georg Cantor (1845-1918) fue el fundador, prácticamente en solitario, de la teoría de conjuntos. Los conjuntos —o clases— se revelaron enseguida como objetos fundamentales, y tan irrevocablemente ligados a la lógica que cualquier intento para construir la matemática sobre la lógica implicaba de forma necesaria construir sobre las bases axiomáticas de la teoría de conjuntos.

La mayoría de las ases de objetos con las que uno se tropieza no son miembros de sí mismas. Por ejemplo, la clase de todos los copos de nieve no es un copo de nieve, la clase de todos los relojes de pulsera antiguos no es un reloj de pulsera antiguo, etc. Pero algunas clases sí son miembros de sí mismas. Por ejemplo, la clase de «todo aquello que no es un reloj de pulsera antiguo» es miembro de sí misma, ya que está claro que esta clase no es un reloj antiguo. De forma similar, la clase de todas las clases es miembro de sí misma, ya que, obviamente, es una clase. Pero ¿y la clase de «todas las clases que no son miembros de sí mismas»?
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Vamos a llamar
R
a esa clase. ¿Es
R
miembro de sí misma (de
R)
o no lo es? Está claro que
R
no pertenece a
R
porque, si perteneciese, violaría la definición de pertenencia a
R.
Pero, si
R
no pertenece a sí misma, entonces, según la definición, debe ser miembro de
R.
De forma parecida a lo que sucedía con el barbero del pueblo, aquí tenemos una clase
R
que pertenece y no pertenece a
R
, lo que es una contradicción lógica. Esta es la paradoja que Russell envió a Frege. Esta antinomia minaba por completo el proceso de determinación de las clases o conjuntos, y asestó un golpe mortal al proyecto de Frege. Frege hizo algunos intentos desesperados de reparar su sistema de axiomas, pero fueron infructuosos. La conclusión tenía todo el aspecto de ser desastrosa: en lugar de ser más sólida que la matemática, la lógica era, al parecer, más vulnerable a las incoherencias paralizantes.

En el mismo período en que Frege desarrollaba su proyecto de lógica, el matemático y lógico italiano Giuseppe Peano probaba una estrategia ciertamente distinta. La intención de Peano era

construir la aritmética sobre una base axiomática. En consecuencia, su punto de partida era la formulación de un conjunto de axiomas simple y conciso. Los tres primeros axiomas, por ejemplo, decían:

(i) 0 es un número.

(ii) El sucesor de cualquier número también es un número.

(iii) Dos números no pueden tener el mismo sucesor.

El problema es que, mientras que el sistema axiomático de Peano podía reproducir las leyes conocidas de la aritmética (después de introducir algunas definiciones adicionales), no contenía nada que permitiese identificar de forma única los números naturales.

El paso siguiente lo dio Bertrand Russell. Russell sostenía que la idea original de Frege (derivar la aritmética de la lógica) seguía siendo el camino correcto. Y, en respuesta a esta audaz toma de postura, Russell produjo, en colaboración con Alfred North Whitehead (figura 50), una increíble obra maestra de la lógica: el tratado en tres volúmenes
Principia Mathematica,
un hito histórico.
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Con la posible excepción del
Organon
de Aristóteles, se trata probablemente de la obra más influyente de la historia de la lógica (en la figura 51 se muestra la portada de la primera edición).