¿Es Dios un Matemático? (10 page)

En la figura 12 se muestra una página del manuscrito; las líneas horizontales representan las oraciones y las verticales, el contenido matemático. Alrededor del siglo XVI, el palimpsesto —el documento reciclado— había llegado de algún modo a Tierra Santa, concretamente al monasterio de San Sabas, al este de Belén. A principios del siglo XIX, la biblioteca del monasterio contenía no menos de un millar de manuscritos. Sin embargo, por razones no del todo conocidas, el palimpsesto de Arquímedes volvió a ser trasladado a Constantinopla. En la década de 1840, el famoso erudito bíblico alemán Constantin Tischendorf (1815-1874), descubridor de uno de los manuscritos más antiguos de la Biblia, visitó el metoquio del Santo Sepulcro en Constantinopla (dependiente de la abadía del Patriarcado Griego en Jerusalén) y allí vio el palimpsesto. Probablemente, Tischendorf quedó intrigado por el parcialmente visible texto matemático subyacente, porque al parecer ¡arrancó y robó una página del manuscrito! Los herederos de Tischendorf vendieron esa página en 1879 a la Biblioteca de la Universidad de Cambridge.

En 1899, el estudioso griego Anastasius Papadopoulos Kerameus catalogó todos los manuscritos del Metoquio, y el manuscrito de Arquímedes apareció en su lista como Ms. 355. Papadopoulos Kerameus fue capaz de leer algunas líneas del texto matemático y, quizá dándose cuenta de su posible importancia, escribió estas líneas en su catálogo. El texto matemático en el catálogo captó la atención del filólogo danés Johan Ludvig Heiberg (1854-1928). Heiberg reconoció el texto como perteneciente a Arquímedes, de modo que viajó a Estambul en 1906, examinó y fotografió el palimpsesto y, un año después, anunció su extraordinario descubrimiento: dos tratados inéditos de Arquímedes (y otro del que sólo se conocía hasta entonces su traducción al latín). Aunque Heiberg fue capaz de leer fragmentos del manuscrito y luego publicarlos en su libro sobre la obra de Arquímedes, aún había huecos importantes. Por desgracia, en algún momento después de 1908, el manuscrito desapareció de Estambul en misteriosas circunstancias, para reaparecer en manos de una familia de París, que afirmaba haberlo poseído desde los años veinte. El palimpsesto había sufrido daños irreversibles por moho debido a un almacenaje incorrecto, y tres de las páginas anteriormente transcritas por Heiberg habían, simplemente, desaparecido. Además, posteriormente a 1929, una persona pintó cuatro miniados de estilo bizantino en cuatro de sus páginas. La familia francesa que poseía el manuscrito decidió finalmente enviarlo a Christie's para que fuese subastado. La propiedad del manuscrito fue disputada en un juzgado federal de Nueva York en 1998. El Patriarcado de Jerusalén de la Iglesia Ortodoxa griega reclamaba que el manuscrito había sido robado en los años veinte de uno de sus monasterios, pero el juez acabó decidiendo en favor de Christie's. El palimpsesto fue subastado en Christie's el 29 de octubre de 1998, y un comprador anónimo pagó por él dos millones de dólares. El propietario depositó el manuscrito de Arquímedes en el museo de arte Walters en Baltimore, donde recibe un exhaustivo tratamiento de conservación y está siendo sometido a un concienzudo examen. Los modernos científicos especialistas en imagen disponen de herramientas en su arsenal que no estaban disponibles a los investigadores de épocas pasadas. Luz ultravioleta, imagen multiespectral y rayos X enfocados (producidos por electrones acelerados en el Acelerador lineal de Stanford) han ayudado a descifrar porciones del manuscrito previamente ocultas. En el momento de redactar estas líneas, los especialistas prosiguen con el cuidadoso estudio del manuscrito de Arquímedes. Yo mismo tuve la suerte de conocer al equipo «forense» del palimpsesto.
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En la figura 13 aparezco yo mismo junto a un montaje experimental utilizado para iluminar una de las páginas del palimpsesto en distintas longitudes de onda.

La dramática historia que rodea al palimpsesto es de lo más adecuada para un documento que nos permite echar un vistazo sin precedentes al método del insigne geómetra.

Al leer cualquier libro de geometría griega, no deja de impresionar la economía de estilo y la precisión con la que se enunciaban y se demostraban los teoremas hace más de dos milenios. Sin embargo, lo que esos libros no proporcionan son pistas claras sobre cómo se concibieron esos teoremas. El excepcional documento de Arquímedes
El método
ayuda a cubrir parcialmente esta misteriosa laguna, ya que revela cómo el propio Arquímedes se convenció de la verdad de ciertos teoremas antes de saber cómo demostrarlos. Este texto es parte de lo que decía al matemático Eratóstenes de Cirene (ca. 284-192 a.C.) en la introducción:

Te haré llegar las demostraciones de los teoremas de este libro. Como te tengo por una persona diligente, un excelente profesor de filosofía, y sé de tu interés por las investigaciones matemáticas, juzgué apropiado escribir y exponer para ti en este mismo libro ciertométodo especial que te permitirá comprender determinadas cuestiones matemáticas
con la ayuda de la mecánica.
Estoy convencido de la utilidad de tal método para hallar las demostraciones de estos mismos teoremas. Porque algunas cosas que primero pude apreciar por el método mecánico se probaron luego de forma geométrica, ya que al investigarlas por ese método no se alcanzaba una verdadera demostración. Pues es más fácil llegar a la demostración cuando, mediante el método, se ha adquirido un conocimiento de las cuestiones, que no llegar a ella sin conocimiento previo. (La cursiva es mía.)
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Arquímedes se refiere aquí a uno de los aspectos fundamentales en la investigación científica y matemática: con frecuencia es más complicado describir cuáles son las
preguntas
o teoremas importantes que encontrar la respuesta a las preguntas o la demostración de los teoremas conocidos. Entonces, ¿cómo descubrió Arquímedes los nuevos teoremas? A partir de su magistral comprensión de la mecánica, el equilibrio y los principios de la palanca,
pesó
mentalmente los sólidos o figuras cuyo volumen o área intentaba hallar comparándolos con otros que ya sabía. Tras determinar así la
solución
del área o volumen desconocidos, le resultaba mucho más sencillo probar geométricamente la corrección de esa solución. Así,
El método
se inicia con una serie de afirmaciones relativas a centros de gravedad para luego proseguir a las proposiciones geométricas y sus demostraciones.

El método de Arquímedes resulta extraordinario desde dos puntos de vista. En primer lugar, introduce el concepto de «experimento mental» en la investigación rigurosa. El físico del siglo XIX Hans Christian Oersted denominó por primera vez a esta herramienta —un experimento imaginario realizado en lugar de uno real—
Gedankenexperiment
(en alemán, «experimento efectuado en el pensamiento»). En física, donde este concepto ha resultado extremadamente fructífero, los experimentos mentales se utilizan para percibir ciertos aspectos de un problema antes de efectuar el experimento real, o bien en casos en los que éste no se puede llevar a cabo. En segundo lugar, y más importante aún, Arquímedes liberó a la matemática de las cadenas más bien artificiales que Euclides y Platón le habían impuesto. Para ellos sólo había una forma de hacer matemáticas. Debía empezarse por los axiomas y proseguir a través de una inexorable secuencia de pasos lógicos, utilizando herramientas perfectamente establecidas. Arquímedes, de espíritu más libre, utilizaba en cambio cualquier recurso que se le ocurría para formular nuevos problemas y resolverlos. No vacilaba en explorar y sacar provecho de las relaciones entre los objetos matemáticos abstractos (las formas platónicas) y la realidad física (sólidos y objetos planos reales) para progresar.

Un último ejemplo que consolida aún más el estatus de «mago» de Arquímedes: fue capaz de prever el
cálculo diferencial e integral
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—una rama de la matemática desarrollada formalmente por Newton (y, de forma independiente, por el matemático alemán Leibnitz) a finales del siglo XVII—.

La idea básica que subyace al proceso de
integración
es bastante simple (¡después de señalarla!). Supongamos que queremos determinar el área de un segmento de elipse. Se puede dividir el área en muchos rectángulos de la misma anchura y luego sumar las áreas de esos rectángulos (figura 14).

Por supuesto, cuantos más rectángulos se utilicen, más se aproximará la suma al área real del segmento. En otras palabras, el área del segmento es en realidad igual al
límite
al que se acerca la suma de los rectángulos cuando el número de éstos tiende a infinito. El proceso de hallar este límite se denomina
integración.
Arquímedes utilizó su propia versión del método que acabo de describir para hallar los volúmenes y las superficies de la esfera, del cono y de elipsoides y paraboloides (los sólidos que se obtienen al hacer girar elipses o parábolas sobre sus ejes).

Uno de los principales objetivos del
cálculo diferenciales
hallar la pendiente de una línea recta
tangente
a una curva en un punto determinado (la línea que toca a la curva únicamente en ese punto). Arquímedes resolvió el problema para el caso especial de una espiral, en un atisbo de lo que serían los futuros trabajos de Newton y Leibnitz. En la actualidad, el cálculo diferencial e integral y las ramas derivadas constituyen la base de la mayoría de los modelos matemáticos, tanto en física como en ingeniería, economía o dinámica de poblaciones.

Arquímedes cambió profundamente el mundo de las matemáticas y la percepción de su relación con el cosmos. Con su asombrosa combinación de intereses teóricos y prácticos,
ofreció las primeras pruebas empíricas, no míticas; del diseño aparentemente matemático de la naturaleza.
La percepción de que las matemáticas son el «idioma» del universo nació con la obra de Arquímedes. Sin embargo, Arquímedes dejó algo por hacer: nunca comentó las
limitaciones
de sus modelos matemáticos al aplicarlos a las circunstancias físicas reales. Sus comentarios teóricos sobre palancas, por ejemplo, suponían que éstas tenían una rigidez infinita, y que las varas carecían de peso. Así, en cierto modo, abrió la puerta a la interpretación de «salvar las apariencias» de los modelos matemáticos. Me refiero a la idea de que los modelos matemáticos pueden representar únicamente
lo que los humanos observan,
y no describen la verdadera realidad física. El matemático griego Gémino (ca. 10 a.C.-60 d.C.) fue el primero en hablar con cierto detalle de las diferencias entre los modelos matemáticos y las explicaciones físicas en relación con el movimiento de los cuerpos celestes.
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Distinguía entre astrónomos (o matemáticos), que, en su opinión, sólo tenían que sugerir modelos que
reprodujesen
los movimientos celestiales, y físicos, que debían hallar
explicaciones
para los movimientos reales. Esta distinción en particular llegaría a un punto crítico en la época de Galileo, y volveré a ella más adelante en este capítulo.