¿Es Dios un Matemático? (7 page)

Según Platón, nosotros, los humanos en general, no somos distintos de esos prisioneros de la caverna, que confunden las sombras con la realidad (en la figura 9 se muestra un grabado de 1604 de Jan Saenredam en el que se ilustra la alegoría).

En concreto, Platón destaca que las verdades matemáticas no hacen referencia a los círculos, triángulos o cuadrados que uno puede dibujar en un trozo de papiro o trazar con un palo en la arena, sino a objetos abstractos ubicados en un mundo ideal en el que residen las formas verdaderas y la perfección. Este
mundo platónico de las formas matemáticas
es distinto del mundo físico, y en él es donde las proposiciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, son verdaderas. El triángulo rectángulo que podemos dibujar en un papel no es más que una copia imperfecta —una aproximación— del verdadero, y abstracto, triángulo.

Otra de las cuestiones fundamentales examinadas por Platón con cierto detalle tiene relación con la naturaleza de la demostración matemática, como proceso basado en
postulados
y
axiomas.
Los axiomas son aserciones básicas cuya validez se supone evidente por sí misma. Por ejemplo, el primer axioma de la geometría de Euclides es: «Entre dos puntos cualesquiera se puede trazar una línea recta». En
La República,
Platón combina de forma maravillosa el concepto de postulado con su idea del mundo de las formas matemáticas:

Creo que sabes que quienes se ocupan de geometría, aritmética y otros estudios similares dan por supuestos los números impares y pares, las figuras, tres clases de ángulos y otras cosas emparentadas con éstas y distintas en cada caso; las adoptan como hipótesis, procediendo igual que si las conocieran, y no se creen ya en el deber de dar ninguna explicación ni a sí mismos ni a los demás con respecto a lo que consideran como evidente para todos, y de ahí es de donde parten las sucesivas y consecuentes deducciones que les llevan finalmente a aquello cuya investigación se proponían.

¿Y no sabes también que se sirven de figuras visibles acerca de las cuales discurren, pero no pensando en ellas mismas, sino en aquello a que ellas se parecen, discurriendo, por ejemplo, acerca del cuadrado en sí y de su diagonal, pero no acerca del que ellos dibujan, e igualmente en los demás casos; y que así, las cosas modeladas y trazadas por ellos, de que son imágenes las sombras y reflejos producidos en el agua, las emplean, de modo que sean a su vez imágenes, en su deseo de ver aquellas cosas en sí
que no pueden ser vistas de otra manera sino por medio del pensamiento ?
(La cursiva es mía.)

La visión de Platón constituye la base de lo que se ha dado en denominar, en filosofía en general, y en los debates sobre la naturaleza de la matemática en particular,
platonismo.
^[52]
En su sentido más amplio, el platonismo defiende una creencia en una especie de realidades eternas e inmutables totalmente independientes del efímero mundo que perciben nuestros sentidos. Según esta doctrina, la existencia real de los objetos matemáticos es un hecho objetivo, del mismo modo que la existencia del universo en sí. No sólo existen los números naturales, los círculos y los cuadrados, sino también los números imaginarios, las funciones, los fractales, las geometrías no euclidianas y los conjuntos infinitos, así como una amplia variedad de teoremas acerca de tales entidades. En resumen, todos los conceptos matemáticos o afirmación «objetivamente cierta» (esto se definirá más adelante) nunca formulada o imaginada, y una infinidad de conceptos y afirmaciones aún no descubiertas, son entidades absolutas o
universales
que no se pueden crear ni destruir, sino que existen independientemente de que sepamos de dicha existencia. Ni que decir tiene que tales objetos no son físicos, sino que viven en un mundo autónomo de esencias fuera del tiempo. Para el platonismo, los matemáticos son exploradores de tierras extrañas, que sólo pueden
descubrir
las verdades matemáticas, nunca inventarlas. De igual modo que América ya estaba allí mucho antes de que Colón (o Leif Erickson) la descubriese, los teoremas matemáticos existían en el mundo platónico mucho antes de que los babilonios iniciasen sus estudios en matemática. Para Platón, las únicas cosas que existían de un modo real y completo eran las formas y las ideas de la matemática, porque, según sostenía, sólo en la matemática se puede obtener un conocimiento absolutamente cierto y objetivo. Así, en la mente de Platón, la matemática estaba íntimamente asociada con lo
divino.
^[53]
En el diálogo
Timeo,
el dios creador utiliza la matemática para modelar el mundo, y en
La República,
los conocimientos matemáticos se consideran una etapa crucial en el camino del conocimiento de las formas divinas. Platón no utiliza la matemática en la formulación de leyes de la naturaleza comprobable mediante experimentos. Para él, el carácter matemático del mundo es simplemente la consecuencia de que «Dios siempre hace geometría».

Platón hizo extensivas sus ideas sobre las «formas verdaderas» a otras disciplinas, en particular a la astronomía. Su razonamiento era que la verdadera astronomía «debe dejar los cielos en paz» y no intentar dar explicaciones sobre la disposición y los movimientos aparentes de las estrellas visibles. Platón opinaba más bien que la verdadera astronomía era la ciencia que trataba de las leyes del movimiento en un mundo matemático ideal, del que el cielo observable no era más que una simple ilustración (del mismo modo que las figuras geométricas dibujadas en un papiro no son más que ilustraciones de las verdaderas figuras).
^[54]

Las sugerencias de Platón acerca de la investigación en astronomía causaron controversia incluso entre algunos de los más acérrimos platónicos. Los defensores de sus ideas aducen que lo que Platón quería decir realmente no era que la verdadera astronomía debía preocuparse de un cielo ideal sin ninguna relación con el observable, sino que debía ocuparse de los movimientos
reales
de los cuerpos celestes, a diferencia de los
aparentes
tal como se veían desde la Tierra. Otros señalan, en cambio, que una interpretación demasiado literal de las afirmaciones de Platón habría supuesto un obstáculo grave para el desarrollo de la astronomía observacio-nal como ciencia. Sea cual sea la interpretación de la actitud de Platón hacia la astronomía, el platonismo se ha convertido en uno de los dogmas más destacados al hablar de los fundamentos de la matemática.

Pero ¿existe realmente este mundo de la matemática platónico? Y, caso de existir, ¿exactamente dónde se encuentra? ¿Y qué son esas afirmaciones «objetivamente ciertas» que lo habitan? ¿O acaso los matemáticos adeptos al platonismo están simplemente expresando el mismo tipo de creencia romántica atribuida al gran artista del Renacimiento Miguel Ángel? Según cuenta la leyenda, Miguel Ángel creía que sus magníficas esculturas ya existían dentro de los bloques de mármol, y que su papel consistía únicamente en revelarlas.

Los platónicos modernos (no hay duda de que existen, y hablaré de sus puntos de vista con más detalle en capítulos posteriores) sostienen con insistencia que el mundo platónico de las formas matemáticas es real, y ofrecen lo que para ellos son ejemplos concretos de afirmaciones objetivamente ciertas que residen en ese mundo.

Tomemos la siguiente proposición sencilla: todos los enteros mayores que dos se pueden escribir en forma de suma de dos primos (números divisibles únicamente por sí mismos o por la unidad). Esta afirmación de aspecto simple se conoce como
conjetura de Goldbach,
debido a que una conjetura equivalente a ésta aparecía en una carta del matemático aficionado prusiano Christian Goldbach (1698-1764) el 7 de junio de 1742. Es fácil verificar la validez de la conjetura para los primeros números pares: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 (o 5 + 5); 12 = 5 + 7; 14 = 3 + 11 (o 7 + 7);16 = 5 + 11 (o 3 + 13); etc. La afirmación es tan simple que el matemático británico G. H. Hardy declaró que «cualquier bobo podría haberlo adivinado». De hecho, el gran matemático y filósofo francés René Descartes se había adelantado a Goldbach en esta conjetura. Sin embargo,
demostrarla
conjetura se reveló como algo completamente distinto. En 1906, el matemático chino Chen Jing-run dio un paso significativo hacia una demostración, ya que logró demostrar que cualquier número entero par lo suficientemente grande es la suma de dos números; uno de ellos es primo y el otro tiene un máximo de dos factores primos. A finales de 2005, el investigador portugués Tomás Oliveira e Silva probó que la conjetura era cierta para los números hasta 3 x 10
¹⁷
(trescientos mil billones). Y sin embargo, a pesar de los colosales esfuerzos de muchos matemáticos de talento, en el momento de escribir estas líneas la demostración
general
sigue eludiéndonos. Ni siquiera la tentación adicional del premio de 1.000.000 de dólares que se ofreció entre el 20 de marzo de 2000 y el 20 de marzo de 2002 (para dar publicidad a la novela titulada
El tío Petros y la conjetura de Goldbach)
produjo el resultado deseado.
^[55]
Pero aquí entra el
quid
de la cuestión: el significado de «verdad objetiva» en matemática. Supongamos que en 2016 se formula una demostración rigurosa. ¿Podríamos decir entonces que la afirmación ya era cierta la primera vez que Descartes pensó en ella? La mayoría de las personas estarían de acuerdo en calificar de tontería una pregunta así. Por supuesto que, si se ha demostrado que la proposición es cierta, es que
siempre
lo ha sido, incluso antes de que lo supiésemos. Podemos también echar una vistazo a otro ejemplo de aspecto inocente llamado la
conjetura de Catalán.
^[56]
Los números 8 y 9 son enteros consecutivos, y cada uno de ellos es igual a una potencia pura, esto es, 8 = 2
³
y 9 = 3
²
. En 1844, el matemático belga Eugene Charles Catalán (1814-1894) conjeturó que, entre
todas
las posibles potencias de números enteros, la
única
pareja de números consecutivos (excluidos el 0 y el 1) era 8 y 9. En otras palabras, aunque uno se pase la vida entera escribiendo todas las potencias puras que existen, no encontrará otra pareja de números que difieran en 1, salvo 8 y 9. En 1342, el filósofo y matemático judeo-francés Levi Ben Gerson (1288-1344) demostró una pequeña parte de la conjetura: que 8 y 9 son las dos únicas potencias de 2 y 3 que difieren en 1. El matemático Robert Tijdeman efectuó un gran avance en 1976. Aun así, la demostración general de la conjetura de Catalan frustró las mejores mentes matemáticas durante más de ciento cincuenta años. Finalmente, el 18 de abril de 2002, el matemático rumano Preda Mihailescu presentó una demostración completa de la conjetura. Su demostración se publicó en 2004 y en la actualidad está totalmente aceptada. De nuevo, uno podría preguntar: ¿cuándo se convirtió en cierta la conjetura de Catalan? ¿En 1342? ¿En 1844? ¿En 1976? ¿En 2002? ¿En 2004? ¿O no es acaso obvio que la afirmación fue siempre cierta, sólo que no sabíamos que lo era? Este es el tipo de verdades a las que los platónicos denominarían verdades objetivas.

Algunos matemáticos, filósofos, científicos cognitivos y otros «consumidores» de matemática (como científicos de la computación) juzgan el mundo platónico como producto de la imaginación de mentes demasiado soñadoras (esta perspectiva y otros dogmas los describiré con mayor detalle más adelante).
^[57]
De hecho, en 1940, el famoso historiador de la matemática Eric Temple Bell (1883-1960) efectuó la predicción siguiente:

Según los profetas, el último partidario del ideal platónico en matemática se unirá a los dinosaurios alrededor del año 2000. Despojada de estas místicas vestiduras de eternalismo, la matemática será reconocida por lo que siempre ha sido, un lenguaje construido por los humanos y desarrollado por éstos con finalidades definidas establecidas por ellos mismos. El último templo de la verdad absoluta se habrá desvanecido junto con la nada a la que estaba consagrado.
^[58]

La profecía de Bell demostró ser falsa. Aunque han aparecido dogmas diametralmente opuestos (pero en distintas direcciones) al platonismo, no han logrado ganarse las mentes (¡ni los corazones!) de todos los matemáticos y filósofos, que siguen estando tan divididos como siempre.

Supongamos, no obstante, que el platonismo hubiese salido vencedor y que todos nos hubiésemos convertido al fervor platónico. ¿Explica el platonismo la «poco razonable eficacia» con la que la matemática describe nuestro mundo? En realidad, no. ¿Por qué iba la realidad física a comportarse según leyes que residen en el abstracto mundo platónico? Este era, después de todo, uno de los misterios de Penrose, un «devoto» platonista. Así que de momento tendremos que aceptar el hecho de que, aunque adoptásemos el platonismo, el rompecabezas del poder de la matemática seguiría sin resolver. En palabras de Wigner: «Es difícil evitar la impresión de que nos enfrentamos a un milagro, comparable en capacidad de sorpresa al milagro de que la mente humana pueda hilvanar un millar de argumentos sin contradecirse».

Para apreciar en todo su esplendor la magnitud de este milagro deberemos ahondar en las vidas y los legados de los propios «milagreros», las mentes ocultas tras el descubrimiento de algunas de estas increíblemente precisas leyes de la naturaleza.