El secreto del universo (15 page)

—Pero, amigo, sólo hay cincuenta y dos cartas, ya lo sabes.

Y me llevó a un tranquilo rincón del cuartel para que me sentara y descansara un poco.

(En realidad, la serie utilizada para determinar el valor de
e
no es más que un ejemplo particular de un caso general. Es posible demostrar que:

Como
x
⁰
= 1 para cualquier valor de x, y 0! y 1! Son ambos iguales a 1, por lo general se dice que la serie comienza:
e
^x
= 1 + × + x
²
/2! + x
³
/3!…, pero yo prefiero la primera versión que he dado. Es más simétrica y más bonita.

Ahora bien,
e
también puede expresarse como e
¹
. En este caso, la
x
de la serie general es igual a 1. Como 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1, entonces
x
²
,
x
³
,
x
⁴
y todas las demás potencias de
x
son iguales a 1 y la serie queda:

e
¹
= l/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!…, que es precisamente la serie con la que hemos estado trabajando antes.

Consideremos ahora el valor inverso de
e
, es decir, 1/
e
. Su valor, con quince cifras decimales es 0,367879441171442…

Da la casualidad de que 1/
e
puede escribirse también
e
^–1
, lo que quiere decir que en la fórmula general para
e
x, podemos sustituir
x
por –1.

Cuando –1 se eleva a una potencia, el resultado es +1 si la potencia es par y –1 si la potencia es impar. Es decir: (–1)
⁰
= 1, (–1)
¹
= –1, (–1)
²
= +l, (–1)
³
= –1, (–1)
⁴
= +1, y así hasta el infinito.

Por tanto, si en la serie general damos a
x
el valor –1, tendremos:

e
^–1
= (–1)
⁰
/0!+ (–1)
¹
/1!+(–1)
²
/2! +(–1)
³
/3!+ (–1)
⁴
/4!… o e
^–1
= 1/0! + (–1)/1!+1/2!+ (–1)/3!+ 1/4!+ (–1)/5!… o e
^–1
= 1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + 1/6! – 1/7!.,.

Es decir, la serie para 1/
e
es exactamente igual que la serie para
e
, con la única diferencia de que todos los términos pares pasan a ser sustracciones en lugar de adiciones.

Además, como l/0! y 1/1! equivalen a 1, los dos primeros términos de la serie para 1/e – l/0! – 1/1! equivalen a 1 –1 = 0. Por tanto, pueden ser omitidos y podemos acabar diciendo que:

e
^–1
= 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + 1/6! – 1/7! + 1/8! – 1/9! + 1/10!, y así hasta el infinito.

¡Y por fin llegamos a mi descubrimiento personal! Cuando estaba observando la serie que acabo de dar para
e
, no pude por menos de pensar que la alternancia entre los signos más y menos estropea un poco su belleza. ¿No sería posible encontrar una manera de expresarla sólo con signos más o sólo con signos menos?

Dado que una expresión como – 1/3! + 1/4! puede transformarse en – (1/3! – 1/4!), me pareció que podría escribir la siguiente serie:

e
^–1
= 1/2! – (1/3! – 1/4!) – (1/5! – 1/6!) – (1/7! – 1/8!)… y así sucesivamente.

Ahora sólo tenemos signos menos, pero, en cambio, tenemos paréntesis, que también son un defecto estético.

Así que empecé a trabajar en el interior de los paréntesis. El primero tiene 1/3! – 1/4!, que es igual a 1/(3 × 2 × 1) – l/(4 × 3 × 2 × 1). Esto es igual a (4 – 1)/(4 × 3 × 2 × 1), o a 3/4!. Del mismo modo, 1/5! – 1/6! = 5/6!; 1/7! – 1/8! = 7/8!, y así sucesivamente.

Me sentí asombrado y encantado, porque ya tenia la Serie Asimov, que es la siguiente:

e
^–1
= 1/2! – 3/4! – 5/6! – 7/8! – 9/10!…, y así hasta el infinito.

No me cabe ninguna duda de que esta serie resulta inmediatamente evidente para cualquier auténtico matemático, y estoy seguro de que hace trescientos años que aparece en los textos; pero yo nunca la he visto, y, hasta que alguien no me lo impida, seguiré llamándola Serie Asimov.

La Serie Asimov no sólo contiene únicamente signos menos (a excepción del primer signo positivo no escrito delante del primer término), sino que contiene todos los dígitos ordenados. La verdad es que no se puede pedir nada más hermoso. Vamos a terminar calculando unos cuantos términos de la serie:

Como ven, basta con sumar cuatro términos de la serie para obtener un resultado con un error de sólo 0,0000025, esto es, de una parte en algo menos de 150.000 o, aproximadamente, 1/1.500 de un 1 por 100.

Así que si creían que el «signo de exclamación» del título sólo se refería al símbolo factorial, estaban equivocados. Es sobre todo una expresión de mi alegría y mi asombro ante la Serie Asimov.

Posdata: algunos lectores han sugerido (después de que este capitulo fuera publicado por primera vez), que, para evitar el primer signo positivo no escrito de la Serie Asimov, ésta se escribiera: – (– 1)/0! – 1/2! – 3/4!… Es cierto que entonces todos los términos serían negativos, incluso el primero, pero nos veríamos obligados a salir del dominio de los números naturales para incluir el 0 y el –1, lo que desvirtuaría un tanto la austera belleza de esta serie.

Otra de las alternativas propuestas es: 0/1! + 2/3! + 4/5! + 6/7! + 8/9!…, que también expresa 1/
e
. En ella sólo hay signos positivos, que, en mi opinión, son más bonitos que los negativos; pero, por otra parte, incluye el 0.

Otro lector más propone una serie similar para el mismo
e
, que sería como sigue: 2/1! + 4/3! + 6/5! + 8/7! + 10/9!… La inversión del orden de los números naturales desvirtúa un poco la estética, pero también le da un cierto toque de encanto, ¿no creen?

¡Oh, ojalá las matemáticas me quisieran como yo las quiero a ellas!

NOTA

Me resulta difícil escribir artículos sobre temas matemáticos, por la sencilla razón de que no soy matemático. No quiero decir que mis conocimientos matemáticos sean insuficientes (aunque esto también es cierto), sino que no tengo
intuición
para las matemáticas. Es como ser incapaz de tocar un instrumento además de no tener ningún sentido musical.

Y, sin embargo, por alguna oscura razón no puedo evitar escribir sobre las matemáticas, y de vez en cuando consigo que se me ocurra algo lo bastante sencillo como para poder escribir sobre el tema sin revelar mi completa falta de talento.

De todos los artículos matemáticos que he escrito en los últimos treinta años, éste es el que más me gusta.
Casi
parece como si supiera de qué estoy hablando. Y el caso es que
descubrí
la Serie Asimov.

Como digo en el articulo, la Serie Asimov debe de ser evidente para cualquier matemático de verdad, y probablemente es conocida desde hace siglos. Por tanto, estaba seguro de que recibiría multitud de cartas para ponerme al tanto de quien la descubrió y cuántos tratados han sido escritos sobre ella y cuándo, y cosas así.

Pero lo cierto es que nunca llegó ninguna carta por el estilo. Se diría que todos mis lectores se sonrieron con indulgencia y se dijeron: «¡Oh, dejemos que Isaac se divierta!»

La Historia está llena de historias apócrifas, historias de gente que hace y dice cosas que nunca hicieron ni dijeron en realidad: como la de que George Washington derribó a hachazos el cerezo o que Galileo estuvo tirando pesos desde la torre inclinada de Pisa. Por desgracia, las historias apócrifas son mucho más interesantes que la verdad, y es imposible acabar con ellas. Y lo que me parece todavía más lamentable, desde mi particular punto de vista, es que mi memoria es tan selectiva que nunca olvido una historia apócrifa, aunque a menudo me cuesta trabajo recordar las cosas reales.

Por ejemplo, está la historia, probablemente apócrifa (o no la recordaría tan bien) sobre san Agustín.

En una ocasión un escéptico le preguntó:

—¿Qué hacía Dios con su tiempo antes de crear el cielo y la tierra?

Y san Agustín le respondió con un rugido y sin dudarlo un instante:

—¡Creó el infierno para los que hacen preguntas como ésa!

Pero espero que san Agustín sólo estuviera bromeando, porque tengo la intención de exponer mis teorías sobre el nacimiento y el desarrollo del Universo a la luz de las leyes de la conservación, y para hacerlo, me veré obligado (entre otras cosas) a formular esa pregunta informulable: ¿qué había antes del principio?

Hay quien se imagina un Universo oscilante que primero se expande, luego se contrae, vuelve a expandirse y luego a contraerse, y así una y otra vez; cada ciclo de expansión y contracción dura unos ochenta mil millones de años, y en el punto de máxima contracción de cada ciclo se produce un «huevo cósmico» extraordinariamente denso.

Para seguir con el tema, empezaremos por preguntarnos si todos los ciclos son idénticos o si se produce algún cambio de un ciclo a otro; si no se producirá algún cambio constante en una dirección determinada.

Por ejemplo, podríamos sostener que, a medida que el Universo se expande, irradia de manera constante partículas sin masa: fotones y neutrinos. Podríamos decir que estos fotones y neutrinos se mueven hacia el exterior del Universo y se pierden para siempre. Cuando el Universo vuelve a contraerse, la masa que se reúne en el nuevo huevo cósmico es más pequeña, debido a la pérdida del equivalente en masa de la energía que representa la radiación perdida. Esto se repetiría en cada ciclo, y cada huevo cósmico tendría menos masa que el anterior, hasta que, por último, se forme un huevo cósmico de masa tan pequeña que no puede explotar adecuadamente. Cuando eso ocurriera, todo el Universo estaría representado por una masa de materia condensada, enormemente grande, pero que va muriendo lentamente.

En ese caso no sólo viviríamos en un Universo en oscilación, sino en un Universo que se va agotando en esa oscilación. Desde ese punto de vista, el Universo sería como una pelota que botara y que no fuera demasiado elástica. Cada bote es más bajo que el anterior, y, por último, la pelota deja de botar y se queda inmóvil.

Esta imagen es bastante elegante, porque nos proporciona un final lógico, la clase de final que estamos acostumbrados a ver en la vida corriente y que, por tanto, podemos aceptar con facilidad. Pero, ¿y si nos remontamos en el tiempo? ¿Y el huevo cósmico que existía antes del primero, a partir del cual se desencadenó el actual movimiento de expansión? Ese huevo anterior debía de ser más grande que el nuestro, y el anterior a aquél debía de ser aún mayor, y el anterior a este último más grande todavía. Puede resultar un poco peliagudo remontarse hacia atrás en el tiempo para encontrarnos con huevos cósmicos cada vez mayores que explotan con una violencia siempre creciente, porque una masa eternamente creciente puede resultar difícil de manejar. El Universo en oscilación decreciente nos proporciona un final globalmente lógico, pero no un principio globalmente lógico.

Por suerte, no hay necesidad de que nos compliquemos la vida, imaginándonos esa oscilación decreciente. Los fotones y neutrinos no se «pierden para siempre». Es cierto que se van alejando de su fuente de radiación en «línea recta», pero ¿qué es lo que entendemos por «línea recta»? Supongamos que dibujamos una línea recta sobre la superficie de la Tierra. Es posible que creamos que si prolongamos la línea manteniéndola perfectamente recta, ésta se prolongará por siempre jamás, y un punto que se desplazara a lo largo de esta línea estaría «perdido para siempre» desde el punto de vista de alguien que estuviera situado al principio de la línea. Sin embargo, ustedes y yo sabemos que la superficie de la Tierra es curva y que la «línea recta» acabaría por volver al lugar de origen (si suponemos que la Tierra es una esfera perfecta).

Del mismo modo, los fotones y neutrinos que se desplazan en «línea recta» según nuestra definición de nuestro sector local del Universo, en realidad se desplazan siguiendo un enorme círculo y vuelven aproximadamente al punto de partida. El Universo del «espacio curvo» tiene un volumen finito y toda la materia y energía que contiene se encuentra necesariamente dentro de sus límites.

Cuando el Universo se contrae, no sólo la materia, sino también los fotones y neutrinos se ven obligados a apiñarse. Las partículas sin masa siguen desplazándose en «líneas rectas», pero estas «líneas rectas» se curvan cada vez más, y, por último, todo el contenido del antiguo huevo cósmico vuelve a reunirse en un nuevo huevo cósmico, sin que se haya perdido nada. Cada huevo cósmico es exactamente igual al anterior y al que vendrá después de él, y no se va reduciendo gradualmente. En un Universo estrictamente oscilante de este tipo no hay principio ni fin, y tampoco ningún cambio
global
. Aunque esto nos obliga a enfrentarnos al inquietante concepto de eternidad, al menos se trata de una eternidad esencialmente inmutable.

Por supuesto, dentro de cada ciclo oscilatorio se comienza por un huevo cósmico, se acaba en el siguiente huevo cósmico y en el intervalo entre ambos se producen cambios espectaculares.