El secreto del universo (6 page)

Por otra parte, hay un número que se ha utilizado como base para una notación formal posicional: el 60. Los antiguos babilonios trabajaban en base 10, igual que nosotros, pero también utilizaban con frecuencia el 60 como base alternativa. En un número en base 60, lo que conocemos por escala de unidades contiene todos los números entre el 1 y el 59, mientras que lo que conocemos por escala de decenas se convierte en escala de «sesentenas», y nuestra escala de centenas (diez por diez) se convierte en la escala de «tres mil seiscientos» (sesenta por sesenta).

Así, al escribir un número, por ejemplo 123, en realidad éste representa (1 × 10
²
) + (2 × 10
¹
) + (3 × 10
⁰
). Y como 10
²
es igual a 100, 10
¹
es igual a 10 y 10
⁰
es igual a 1, el total es 100 +20+3, o, como hemos dicho antes, 123.

Pero si los babilonios querían escribir el equivalente de 123 en base 60, esto seria (1 × 60
²
) + (2 × 60
¹
) + (3 × 60
⁰
). Y como 60
²
es igual a 3.600, 60
¹
es igual a 60 y 60
⁰
es igual a 1, el resultado es 3.600 + 120 + 3, ó 3.723 en nuestra notación decimal. Si utilizamos una notación posicional de base 60, se trata de una «notación sexagesimal».

Como sugiere la palabra «sexagésimo», la notación sexagesimal también puede expresarse con fracciones.

Nuestra notación decimal nos permite utilizar una cifra como 0,156, que en realidad expresa 0 + 1/10 + 5/100 + 6/1.000. Como ven, los denominadores siguen la escala de los múltiplos de 10. En la escala sexagesimal los denominadores siguen la escala de los múltiplos de 60, y 0,156 representaría 0 + 1/60 + 5/3.600 + 6/216.000, ya que 3.600 es igual a 60 × 60, 216.000 es igual a 60 × 60 × 60, y así sucesivamente.

Aquellos de entre ustedes que conozcan bien la notación exponencial, sin duda se sentirán muy satisfechos de saber que 1/10 puede representarse como 10
^–1
, 1/100 puede representarse como 10
^-2
y así sucesivamente, y que 1/60 puede representarse 60
^–1
, 1/3.600 como 60
^-2
y así sucesivamente. Por tanto, un número entero en notación sexagesimal seria algo así: (15) (45) (2), (17) (25) (59) ó (15 × 60
²
) + (45 × 60
¹
) + (2 × 60
⁰
), y si quieren pasar el rato calculando cuál es su equivalente en la notación decimal corriente, háganlo. Pero no cuenten conmigo.

Todo esto no tendría más que un interés puramente académico si no fuera por el hecho de que seguimos utilizando la notación sexagesimal en al menos dos cuestiones importantes, que datan de la época de los griegos.

Los griegos tenían tendencia a utilizar la notación babilónica en base 60 cuando se enfrentaban a cálculos complicados; como hay tantos números divisibles por 60, las fracciones se evitaban siempre que era posible (¿y quién no intentaría evitar las fracciones siempre que fuera posible?).

Por ejemplo, hay una teoría que afirma que los griegos dividían el radio de un circulo en 60 partes iguales, para que al trabajar con medio radio, o un tercio o un cuarto o un quinto o un sexto o un décimo de radio (y así sucesivamente), siempre les fuera posible expresarlo como un número entero en base sexagesimal. Por tanto, como en la antigüedad el valor de
π (pi
) a menudo se consideraba aproximadamente igual a 3, lo que facilitaba las cosas, y como la longitud de la circunferencia de un circulo es igual a dos veces
π
por el radio, la longitud de la circunferencia de un círculo es igual a 6 veces el radio o a 360 sexagésimas partes del radio. De ahí viene quizá la costumbre de dividir un circulo en 360 partes iguales.

Otra posible razón para ello reside en el hecho de que el Sol completa su recorrido en un poco más de 365 días, de manera que cada día recorre alrededor de 1/365 de su camino por el firmamento. Ahora bien, los antiguos no iban a hacerse los exigentes por unos cuantos días más o menos, y es mucho más fácil trabajar con 360, así que dividieron el circuito celeste en 360 partes y consideraron que el Sol atraviesa una de estas divisiones (bueno, más o menos) cada día.

La trescientos sesentava parte de un circulo se llama «grado», del latín «peldaño hacia abajo». Si se considera que el Sol se desplaza por una especie de escalera circular, cada día baja un peldaño (bueno, más o menos) de esta escalera.

Siguiendo con el sistema sexagesimal, cada grado puede dividirse en 60 partes más pequeñas, y cada una de éstas en otras 60 más pequeñas aún, y así sucesivamente. La primera división se llamaba en latín
pars minuta prima
(la primera parte pequeña), y la segunda
pars minuta secunda
(la segunda parte pequeña), que, en forma abreviada, son los minutos y segundos de nuestro idioma.

El símbolo del grado es un circulito (por supuesto), el del minuto una raya simple y el del segundo una raya doble, de manera que cuando decimos que la latitud de algún lugar determinado de la Tierra es 39° 17'42", lo que estamos diciendo es que está a una distancia del Ecuador de 39 grados más 17/60 de grado más 42/3.600 de grado, y ¿qué es eso sino el sistema sexagesimal?

La segunda cuestión para la que se sigue utilizando el sistema sexagesimal es la medida del tiempo (que en un principio estaba basada en los movimientos de los cuerpos celestes). Así, dividimos la hora en minutos y segundos, y cuando hablamos de un intervalo de tiempo de 1 hora, 44 minutos y 20 segundos, estamos hablando de una duración de 1 hora más 44/60 más 20/3.600 de hora.

Este sistema se puede seguir aplicando más allá del segundo; en la Edad Media los astrónomos árabes lo hacían con frecuencia. Uno de ellos batió una marca al dividir una fracción sexagesimal en otra y calcular un cociente con 10 cifras sexagesimales, que equivalen a 17 cifras decimales.

Bien, olvidémonos por ahora de las fracciones sexagesimales y vamos a concentrarnos en las consecuencias de dividir las circunferencias de los círculos en un determinado número de partes. Y vamos a concentrarnos especialmente en el círculo de la eclíptica a lo largo de la cual el Sol, la Luna y los planetas recorren sus órbitas.

A fin de cuentas, ¿cómo demonios se las puede uno arreglar para medir una distancia en el cielo? No con una cinta métrica, desde luego. En esencia, el sistema consiste en trazar dos líneas imaginarias desde los extremos del intervalo a medir que atraviesen la eclíptica (o cualquier otro arco de circulo) y lleguen al centro del círculo, en el que situamos nuestro punto de vista imaginario, y luego medir el ángulo que forman estas dos líneas.

Es difícil explicar la importancia de este sistema sin un gráfico, pero voy a intentarlo, con mi acostumbrada temeridad (aunque les recomiendo que vayan dibujándolo ustedes mientras leen mi explicación, no vaya a ser que ésta resulte irremediablemente confusa).

Supongamos que tenemos un circulo con un diámetro de 115 metros, otro círculo con el mismo centro y un diámetro de 230 metros y otro más también con el mismo centro y un diámetro de 345 metros. (Se trata de «círculos concéntricos»; su aspecto recuerda el de una diana.)

La circunferencia del circulo más pequeño mediría unos 360 metros, la del intermedio unos 720 metros y la mayor unos 1.080 metros.

A continuación, marcamos 1/360 de la circunferencia del círculo menor, un arco de un metro de largo, y trazamos dos líneas desde los extremos del arco hasta el centro del circulo. Como 1/360 de la circunferencia es un grado, también podemos considerar que el ángulo formado desde el centro es un grado (sobre todo, teniendo en cuenta que 360 arcos iguales a éste ocuparían toda la circunferencia y que por lo tanto 360 ángulos centrales iguales a éste ocuparían todo el espacio alrededor del centro).

Si prolongamos hacia fuera el ángulo de un grado, de manera que sus lados atraviesen los dos círculos mayores, éstos delimitarán un arco de 2 metros en el círculo intermedio y otro de 3 metros en el círculo mayor. Los lados divergen en la misma medida que la circunferencia aumenta de diámetro. Las longitudes de los arcos varían, pero la fracción del circulo en relación con su diámetro sigue siendo la misma. Un ángulo de un grado con vértice en el centro de un circulo delimitará un arco de un grado en la circunferencia de cualquier círculo, sea cual sea su diámetro, ya se trate del circulo que marca los limites de un protón o del Universo (según la geometría euclidiana, me apresuro a añadir). Esto se cumple para todos los ángulos de cualquier medida.

Imaginemos que nuestro ojo está en el centro de un círculo que tiene dos marcas, a una distancia de 1/6 de la circunferencia, es decir, a 360/6 ó 60 grados de arco. Si trazamos una línea imaginaria desde cada marca hasta nuestro ojo, estas dos líneas forman un ángulo de 60 grados. Si miramos primero a una marca y luego a la otra, estamos desplazando la vista en un ángulo de 60 grados.

Y lo de menos es que el circulo esté a una milla o a un trillón de millas de distancia. Si las dos marcas están separadas 1/6 de circunferencia, tienen una separación de 60 grados, sea cual sea la distancia. Es estupendo disponer de esta forma de medir, ya que no tenemos ni la más ligera idea de la distancia a la que se encuentra el circulo.

De manera que, como durante la mayor parte de la historia de la humanidad los astrónomos no conocían las distancias a las que se encontraban los cuerpos celestes, la medición angular era exactamente lo que necesitaban.

Y si no lo creen así, intenten utilizar la medición lineal. Normalmente, si le pedimos a alguien que haga una estimación aproximada del diámetro (aparente) de la Luna, recurrirá casi instintivamente a las medidas lineales. Lo más probable es que su juiciosa respuesta sea: «Oh. unos treinta centímetros.»

Pero al utilizar las medidas lineales está determinando una distancia concreta, lo sepa o no. Para que un objeto de treinta centímetros de diámetro parezca tan grande como la Luna llena, tiene que estar a una distancia de 33 metros.

No creo que nadie, aunque piense que la Luna tiene un diámetro de treinta centímetros, considere que se encuentra a una distancia de menos de 33 metros.

Si nos atenemos a las mediciones angulares y afirmamos que el diámetro medio de la Luna llena es 31' (minutos), no estamos haciendo ninguna estimación de la distancia y nos mantenemos en terreno seguro.

Pero si insistimos en utilizar las mediciones angulares, desconocidas para la mayoría de la población, entonces es necesario encontrar la manera de que todo el mundo lo entienda. La forma más corriente de hacerlo, y también de representarnos el tamaño de la Luna, por ejemplo, es tomar un circulo que nos sea familiar y calcular la distancia a la que tiene que estar para que parezca del mismo tamaño que la Luna.

Un círculo así es, por ejemplo, el de una moneda de veinticinco centavos. Tiene un diámetro aproximado de 0,96 pulgadas (2,4 cm), y podemos considerar que su diámetro es de 1 pulgada (2,5 cm) sin cometer un error demasiado considerable. Si sostenemos la moneda a 9 pies (unos 3 m) de distancia de nuestros ojos, forma un arco de 31' con centro en éstos, lo que quiere decir que la veremos del mismo tamaño que la Luna llena, y si la mantenemos a esta distancia entre nuestros ojos y la Luna llena, la tapará por completo.

Si nunca se les había ocurrido esta idea, seguramente les parecerá sorprendente que una moneda de un cuarto de dólar a una distancia de 3 metros (que probablemente se imaginen que parecería muy pequeña) cubra por completo la Luna llena (que probablemente consideren que es bastante grande). Lo único que puedo decirles es: ¡hagan el experimento!

Bien, esto puede ser válido para el Sol y la Luna, pero hay que tener en cuenta que son los cuerpos celestes más grandes a simple vista. En realidad, son los únicos (a excepción de algún cometa ocasional) que muestran un disco visible. El resto de los cuerpos celestes se mide en fracciones de minuto, e incluso en fracciones de segundo.

No es difícil continuar con la analogía y decir que un planeta o una estrella determinados tienen un diámetro aparente igual al de una moneda de un cuarto de dólar vista desde una distancia de una o diez o cien millas, y de hecho eso es lo que se suele hacer. ¿Pero qué utilidad puede tener? A esas distancias es imposible ver la moneda o hacerse una idea de su tamaño. Simplemente se ha sustituido una medida no apreciable a simple vista por otra.

Tiene que haber una manera mejor de hacerlo.

Y en este punto de mi razonamiento, tuve esa idea original (espero).

Supongamos que la Tierra tuviera exactamente su tamaño real, pero que fuera una enorme esfera hueca, lisa y transparente. Supongamos que estuviéramos mirando al cielo desde un punto situado exactamente en el centro de la Tierra, y no en su superficie. En ese caso veríamos todos los cuerpos celestes proyectados en la esfera terrestre.

En realidad, es como si el globo terrestre nos sirviera de soporte para dibujar una réplica de la esfera celeste.

La importancia de esto reside en que el globo terrestre es la única esfera sobre la que podemos representar sin dificultad las medidas angulares, ya que todos hemos oído hablar de la latitud y la longitud, que
son
medidas angulares. Un grado determina una longitud de 69 millas (111 km) sobre la superficie de la Tierra (con algunas ligeras variaciones que podemos pasar por alto, debidas al hecho de que la Tierra no es una esfera perfecta). Por tanto, 1 minuto, que equivale a 1/60 de grado, es igual a 1,15 millas (1,8 km) o a 6.060 pies (1.847 m), y un segundo, que equivale a 1/60 de minuto, es igual a 101 pies (31 m).

Observarán, por tanto, que si conocemos el diámetro angular aparente de un cuerpo celeste, sabemos cuál sería exactamente el diámetro de su representación a escala sobre la superficie de la Tierra.

Por ejemplo, la Luna, con un diámetro angular medio de 31 minutos, tendría un diámetro de 36 millas (58 km) en su representación a escala sobre la superficie de la Tierra. Cubriría limpiamente toda la zona metropolitana de Nueva York, o el espacio que hay entre Boston y Worcester.

Es posible que su primera reacción sea exclamar «¡COMO!»; pero esta distancia no es tan grande como parece. Recuerden que este modelo a escala es visto desde el centro de la Tierra, a cuatro mil millas (6.436 km) de la superficie, y no tienen más que pensar en cuál sería el tamaño aparente del área metropolitana de Nueva York visto desde esa distancia. O, si tienen un globo terráqueo, dibujen un círculo cuyo diámetro se extienda desde Boston a Worcester y se darán cuenta de que es verdaderamente muy pequeño en comparación con la superficie total de la Tierra, lo mismo que la Luna es realmente muy pequeña si la comparamos con la superficie total del cielo. (Por cierto, serían necesarios 490.000 cuerpos del tamaño de la Luna para cubrir todo el cielo, y 490.000 cuerpos del tamaño de nuestra representación de la Luna para cubrir toda la superficie terrestre.)