¿Es Dios un Matemático? (18 page)

Ese mismo año [1666] empecé a pensar que la gravedad se extendía hasta la órbita de la Luna y, habiendo hallado la forma de calcular la fuerza con la que [un] globo que gira dentro de una esfera presiona la superficie de la esfera, a partir de la Regla de períodos de los Planetas de Kepler, estando en proporción sesquiáltera de sus distancias desde los centros de sus Órbitas, deduje que
las fuerzas que mantienen los Planetas en sus Órbitas deben [ser] recíprocamente como los cuadrados de las distancias de los centros alrededor de los que giran:
y de ese modo comparé la fuerza requisita para mantener la Luna en su Órbita con la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra y hallé que las respuestas eran muy próximas. Todo esto tuvo lugar en los dos años de la plaga de 1665 y 1666, y desde entonces presté más atención que nunca a la Matemática y a la Filosofía. (La cursiva es mía.)
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Newton habla aquí de su importante deducción (a partir de las leyes del movimiento planetario de Kepler) de que la atracción gravitatoria entre dos cuerpos esféricos varía de forma inversa al cuadrado de la distancia entre ellos. En otras palabras, si la distancia entre la Tierra y la Luna se triplicase, la fuerza gravitatoria experimentada por la Luna sería nueve (tres al cuadrado) veces menor.

Por motivos no del todo claros,
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Newton abandonó toda investigación sobre temas de gravitación y movimiento planetario hasta 1679. Entonces recibió dos cartas de su acérrimo rival Robert Hooke que renovaron su interés en la dinámica en general y, en particular, en el movimiento planetario. Los resultados de esta curiosidad renovada fueron espectaculares: a partir de las leyes de la mecánica que había formulado, Newton demostró la segunda ley del movimiento planetario de Kepler. En concreto, demostró que, a medida que el planeta se mueve en su órbita elíptica alrededor del Sol, la línea que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales (figura 28).

También demostró que «para un cuerpo que gira describiendo una elipse … la ley de la atracción dirigida al foco de la elipse … es inversa al cuadrado de la distancia». Estas afirmaciones representan importante hitos en el camino hacia los
Principia.

Halley visitó a Newton en Cambridge en primavera o verano de 1684. Halley llevaba un tiempo comentando las leyes del movimiento planetario de Kepler con Hooke y con el célebre arquitecto Christopher Wren (1632-1723). En estas conversaciones informales, tanto Hooke como Wren afirmaban haber deducido la ley del inverso de los cuadrados unos años antes, pero ninguno de los dos fue capaz de construir una teoría matemática completa a partir de su deducción. Halley decidió formular la pregunta crucial a Newton: ¿sabía cuál sería la forma de la órbita de un planeta afectado por una fuerza de atracción variable según una ley de cuadrados inversos? Para su sorpresa, Newton le respondió que hacía varios años que había demostrado que la órbita sería una elipse.

El matemático Abraham de Moivre (1667-1754) relata esta historia en uno de sus escritos (del que se muestra una página en la figura 29):

En 1684, Halley fue a visitarlo [a Newton] a Cambridge; al cabo de un tiempo de estar juntos, el doctor le preguntó qué curva pensaba que describirían los planetas suponiendo que la fuerza de atracción hacia el Sol fuese recíproca al cuadrado de la distancia de él. Sir Isaac replicó de inmediato que sería una Elipsis [elipse]; el Doctor, impresionado y pletorico, le preguntó cómo lo sabía, a lo que él [Newton] repuso que lo había calculado. El doctor Halley le pidió que le mostrase sus cálculos sin demora; sir Isaac, después de buscar entre sus papeles, no pudo encontrarlos, pero le prometió que los volvería a hacer y se los enviaría.
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Halley volvió a visitar a Newton en noviembre de 1684. Entre ambas visitas, Newton trabajó como un poseso. De Moivre nos ofrece esta breve descripción:

A fin de cumplir su promesa, sir Isaac se puso de nuevo al trabajo, pero no pudo alcanzar la conclusión que creía haber examinado meticulosamente antes; sin embargo, probó una nueva forma que, aunque en más tiempo que la primera, le llevó de nuevo a su antigua conclusión, y luego examinó con atención cuál podría haber sido la razón por la que los cálculos que había realizado no demostraron ser correctos, y … hizo que ambos cálculos coincidiesen.

Este árido resumen no ofrece siquiera una remota idea de lo que Newton había logrado en realidad en los meses transcurridos entre las visitas de Halley. Escribió todo un tratado,
De Motu Corporum in Gyrum,
en el que demostraba casi todos los aspectos de los cuerpos que se mueven en órbitas circulares o elípticas, demostró todas las leyes de Kepler e incluso resolvió el problema para una partícula que se mueve en un medio con resistencia (como el aire). Halley quedó abrumado. Para su satisfacción, se las arregló para convencer a Newton de que publicase todos estos asombrosos descubrimientos; por fin, el momento de los
Principia
se aproximaba.

Al principio, Newton había concebido el libro como una versión ampliada y más detallada de su tratado
De Motu.
No obstante, cuando empezó a trabajar, se dio cuenta de que algunos de los temas requerían de una más profunda reflexión. Dos aspectos en particular inquietaban a Newton. Uno de ellos consistía en que Newton había formulado originalmente su ley de atracción gravitatoria como si el Sol, la Tierra y los planetas fuesen
masas puntuales
matemáticas, sin dimensiones. Por descontado, sabía que esto no era cierto, por lo que consideraba que sus resultados eran sólo una aproximación cuando se aplicaban al sistema solar. Algunos especulan incluso que el motivo de que abandonase su investigación sobre la gravedad en 1679 fue su descontento con este estado de cosas.
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Con respecto a la fuerza sobre la manzana, la situación era aún peor. En este caso, está claro que la parte de la Tierra que se encuentra justo debajo de la manzana está a una distancia muy inferior a la de la parte que está al otro lado del planeta. ¿Cómo se podía calcular la atracción neta? El astrónomo Herbert Hall Turner (1861-1930) describía así la lucha interna de Newton en un artículo que apareció el 19 de marzo de 1927 en el
Times
de Londres:

En aquella época se le ocurrió la idea general de la atracción variable como el cuadrado inverso de la distancia, pero vio graves obstáculos en su aplicación completa, obstáculos de los que otras mentes menos preclaras no eran conscientes. La más importante de estas dificultades no pudo superarla hasta 1685 … Se trataba de relacionar la atracción de la Tierra sobre un cuerpo tan lejano como la Luna y la atracción que ejerce sobre una manzana situada a corta distancia de su superficie. En el primer caso, las diversas partículas que componen la Tierra (a la que Newton esperaba ampliar su ley, haciéndola así universal) se encuentran a distancias no muy distintas de la Luna en cuanto a magnitud o dirección; pero sus distancias con respecto a la manzana diferían de forma conspicua, tanto en tamaño como en dirección. ¿Cómo se podrían combinar o sumar las diversas atracciones del segundo caso para obtener una única resultante? ¿Y en qué «centro de gravedad», en su caso, se concentrarían?

El avance decisivo llegó finalmente en la primavera de 1685. Newton logró demostrar un teorema esencial: para dos cuerpos esféricos, «toda la fuerza con que una de estas esferas atrae a la otra será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros». ¡Es decir,
para la gravitación, los cuerpos esféricos actúan como si fuesen masas puntuales concentradas en sus centros!
El matemático James Whitbread Lee Glaisher (1848-1928) destacaba la importancia de esta bella demostración. En su parlamento durante la celebración del bicentenario de los
Principia
de Newton, Glaisher afirmó:

En cuanto Newton pudo demostrar su soberbio teorema —y por sus palabras sabemos que no tenía esperanzas de obtener un resultado tan bello hasta que éste surgió de su investigación matemática—, todo el mecanismo del universo se mostró de repente ante él. ¡Qué distintas debieron aparecer estas proposiciones a los ojos de Newton cuando se dio cuenta de que sus resultados, que había tomado por aproximados al aplicarlos al sistema solar, eran en realidad exactos! … Podemos imaginar el efecto que esta súbita transición de aproximación a exactitud tuvo para estimular la mente de Newton a la consecución de logros aún mayores. Ahora tenía en sus manos la capacidad de aplicar con total precisión el análisis matemático a las cuestiones reales de la astronomía.
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El otro aspecto que al parecer seguía irritando a Newton cuando escribió el primer borrador de
De Motu
era el haber despreciado la influencia de las fuerzas con las que los planetas atraían al Sol. En otras palabras, en su formulación original, Newton redujo al Sol a un mero papel de centro de fuerza
inamovible
que, usando las palabras del propio Newton, «apenas existe» en el mundo real. Este esquema se contradecía con la propia
tercera ley del movimiento
de Newton, según la cual «las acciones de cuerpos que atraen y que son atraídos son siempre mutuas e iguales». Cada planeta atrae al Sol con la misma fuerza con la que el Sol atrae al planeta. Por consiguiente, agregó, «si hay dos cuerpos [como la Tierra y el Sol], ni el cuerpo que atrae ni el cuerpo que es atraído pueden estar en reposo». El darse cuenta de este aspecto aparentemente poco importante fue en realidad un paso fundamental hacia el concepto de gravitación universal. Podemos intentar adivinar por dónde transcurrió la línea de pensamiento de Newton: si el Sol tira de la Tierra, la Tierra debe también tirar del Sol, y con idéntica fuerza. Es decir, la Tierra no se limita a orbitar alrededor del Sol, sino que ambos giran alrededor de su centro de gravedad común. Pero eso no es todo: el resto de los planetas atraen también al Sol, y de hecho cada planeta sufre la atracción, no sólo del Sol, sino también de los demás planetas. Esa misma lógica puede aplicarse a Júpiter y sus satélites, a la Tierra y la Luna, e incluso a la manzana y la Tierra. La conclusión es de una increíble simplicidad:
sólo hay una fuerza de gravitación, y actúa sobre cualquier par de masas, en cualquier lugar del universo.
Esto era cuanto Newton necesitaba. Los
Principia
—510 densas páginas en latín— se publicaron en julio de 1687.

Newton realizó observaciones y experimentos cuya precisión no superaba el 4 por 100, y estableció a partir de ellos una ley matemática de la gravitación cuya precisión resultó ser mejor que una parte por millón. Por primera vez combinó
explicaciones
de los fenómenos naturales con el poder de
predicción
de los resultados de observaciones. La física y la matemática quedaron unidas para siempre, mientras que el divorcio entre la ciencia y la filosofía se hizo inevitable.

La segunda edición de los
Principia,
con exhaustivas modificaciones de Newton y, en especial, del matemático Roger Cotes (1682-1716), vio la luz en 1713 (en la figura 30 se puede ver la portada).

Newton, que no se caracterizaba precisamente por ser una persona afectuosa, ni siquiera se molestó en dar las gracias a Cotes por su fabuloso trabajo en el prólogo del libro. Sin embargo, cuando Cotes falleció a los treinta y tres años debido a unas violentas fiebres, Newton mostró un cierto reconocimiento: «Si hubiese vivido más tiempo habríamos oído hablar de él».