El secreto del universo (5 page)

Es muy posible que todo esto les parezca decepcionante. Efectivamente, la serie infinita
es
una representación matemática del valor exacto y verdadero de p. Para un matemático, es una forma tan válida como cualquier otra de expresar ese valor. Pero si lo que se quiere es tener ese valor en forma de número real, ¿de qué puede servir? Ni siquiera resulta práctico calcular un par de docenas de términos para cualquiera que quiera vivir de una manera normal; ¿cómo entonces es posible calcular un número infinito de términos?

Ah, pero es que los matemáticos no renuncian a sumar los términos de una serie sólo porque el número de términos sea infinito. Por ejemplo, la serie:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64…

puede ser sumada añadiendo un término a otro sucesivamente. Si lo hacen, descubrirán que cuantos más términos utilicen, más se acercan a la unidad, y esto puede expresarse de manera abreviada diciendo que la suma de ese número infinito de términos no es más que 1, después de todo.

En realidad, existe una fórmula que puede utilizarse para determinar la suma de los términos de cualquier progresión geométrica decreciente, como la del ejemplo que acabamos de ver.

De esta forma, la serie:

3/10 + 3/100 + 3/1.000 + 3/10.000 + 3/100.000…

no suma, a pesar de toda su espléndida infinitud, más que 1/3, y la serie:

1/2 + 1/20 + 1/200 + 1/2.000 + 1/20.000…

tiene un valor de 5/9.

Desde luego, las series desarrolladas para el cálculo de
π
no son nunca progresiones geométricas decrecientes, y por tanto no es posible utilizar la fórmula para calcular su suma. En realidad, nunca se ha encontrado una fórmula para calcular la suma de los términos de la serie de Leibniz o de cualquiera de las otras. No obstante, al principio no parecía haber ninguna razón para suponer que no pudiera haber alguna manera de encontrar una progresión geométrica decreciente, cuya suma fuera
π
. De ser así, entonces
π
podría ser expresado en forma de fracción. Una fracción es, en realidad, la relación entre dos números, y cualquier cosa que pueda expresarse mediante una fracción, o relación, es un «número racional». La esperanza, por tanto, es que
π
resultara ser un número racional.

Una de las maneras de probar que una cantidad es un número racional es calcular su valor decimal todo lo que se pueda (añadiendo cada vez más términos de una serie infinita, por ejemplo), para demostrar luego que se trata de un «decimal periódico», es decir, un decimal en el que los dígitos o algunos grupos de dígitos se repiten hasta el infinito.

Por ejemplo, el valor decimal de 1/3 es 0,33333333333…, y el de 1/7 es 0,142857 142857 142857…, y así hasta el infinito. Hasta una fracción como 1/8, que parece «caber justa», es, en realidad, un decimal periódico si se cuentan los ceros, ya que su equivalente decimal es 0,125000000000… Es posible probar matemáticamente que cualquier fracción, por complicada que sea, puede expresarse como un valor decimal que tarde o temprano se hace periódico. Inversamente, cualquier decimal que acabe haciéndose periódico, por muy complicado que sea el ciclo de repetición, puede expresarse como una fracción exacta.

Si tomamos un decimal periódico cualquiera, por ejemplo 0,37373737373737…, es posible obtener a partir de él, en primer lugar, una progresión geométrica decreciente, expresándolo de la siguiente forma:

37/100 + 37/10.000 + 37/1.000,000 + 37/100.000.000…

y luego se puede utilizar la fórmula para conocer el valor de la suma de sus términos, que es 37/99. (Calculen el equivalente decimal de esta fracción, y ya verán lo que obtienen.)

O si tenemos un número decimal que empieza siendo no periódico y luego se hace periódico, como 15,21655555555555…, podemos expresarlo así:

15 + 216/1,000 + 5/10.000 + 5/100.000 + 5/1.000.000…

A partir de 5/10.000 tenemos una progresión geométrica decreciente, y la suma de sus términos resulta ser 5/90.000. Por tanto, se trata de una serie finita compuesta únicamente de tres términos, que pueden sumarse sin problemas:

15 + 216/1.000 + 5/90.000
=
136.949/9.000

Si quieren, pueden calcular el valor decimal 136.949/9.000 para comprobar el resultado.

Pues bien, si se hallara el equivalente decimal de
π
con un cierto número de cifras decimales y se detectara alguna repetición, por muy ligera o complicada que fuera, siempre que pudiera demostrarse que se repite continuamente se podría expresar su valor exacto mediante una serie nueva. Esta serie nueva acabaría con una progresión geométrica decreciente, cuyos términos podrían sumarse. Se obtendría, por tanto, una serie finita y se podría expresar el valor exacto de
π
no como una serie, sino como un número real.

Los matemáticos se lanzaron en su busca. En 1593 el mismo Vieta utilizó su propia serie para calcular el valor de
π
con diecisiete decimales. Aquí lo tienen, por si quieren echarle un vistazo: 3,14159265358979323. Como ven, no parece haber ningún tipo de periodo.

Más tarde, en 1615 el matemático alemán Ludolf von Ceulen utilizó una serie infinita para calcular
π
con treinta y cinco decimales. Tampoco él encontró ninguna repetición. De todas formas, ésta era una hazaña tan impresionante para la época que adquirió una cierta fama, a consecuencia de la cual el número
π
es llamado a veces «el número de Ludolf», por lo menos en los libros de texto alemanes.

Después, en 1717, el matemático inglés Abraham Sharp aventajó en varios puestos a Ludolf al calcular el valor de
π
con setenta y dos cifras decimales. Y seguía sin haber rastros de repeticiones.

Pero poco tiempo después se estropeó el juego.

Para demostrar que una cantidad es racional hay que dar con su fracción equivalente y desarrollarla. Pero para probar que es irracional, no es imprescindible calcular ni un solo decimal. Lo que hay que hacer es
suponer
que la cantidad puede expresarse con una fracción,
p/q
, para luego demostrar que esto supone una contradicción, como, por ejemplo, que
π
tendría que ser a la vez par e impar. Esto demostraría que ninguna fracción puede expresar esa cantidad, que, por tanto, será irracional.

Esta prueba es exactamente la que desarrollaron los antiguos griegos para demostrar que la raíz cuadrada de 2 era un número irracional (el primero que se descubrió). Este descubrimiento es atribuido a los pitagóricos, y se dice que se sintieron tan horrorizados al descubrir que era posible que existieran cantidades que no pudieran ponerse en forma de fracción, ni aun de la más complicada, que juraron guardar el secreto y acordaron castigar con la pena de muerte al que lo revelara. Pero al igual que todos los secretos científicos, ya se trate de números irracionales o de bombas atómicas, la información acabó por filtrarse.

Bien; en 1761 un físico y matemático alemán, Johann Heinrich Lambert, demostró por fin que
π
es irracional. Por tanto, no había que esperar encontrar alguna pauta, ni siquiera la más insignificante, por muchos decimales que se calcularan. El verdadero valor
solo
puede expresarse en forma de serie infinita.

¡Ay!

Pero no derramen sus lágrimas. Una vez demostrado que
π
es un número irracional, los matemáticos se dieron por satisfechos. El problema estaba resuelto. Y en cuanto a la aplicación de
π
a los fenómenos físicos, ese problema también estaba resuelto de una vez por todas. Puede que piensen que a veces podría ser necesario, en cálculos muy delicados, conocer el valor de
π
con unas docenas e incluso con unos cientos de cifras decimales. ¡Pues no es así! Las mediciones que realizan los científicos en la actualidad son maravillosamente precisas, pero aun así muy pocas llegan más allá de, digamos, una milmillonésima parte, y para un cálculo de esta precisión en el que se utilice el valor de
π
bastaría con nueve o diez cifras decimales.

Por ejemplo, supongamos que trazamos un círculo de diez mil millones de millas (dieciséis mil millones de kilómetros) de diámetro, con el Sol en el centro, que encierre en su interior todo el sistema solar, y supongamos que queremos calcular la longitud de la circunferencia de este círculo (que mediría más de treinta y un mil millones de millas, o sesenta mil millones de kilómetros), tomando 355/113 como valor aproximado de
π
. El error sería de menos de tres mil millas (cinco mil kilómetros).

Pero supongamos ahora que fueran ustedes tan precisos y maniáticos que un error de cinco mil kilómetros en sesenta mil millones les resultara insoportable. Pueden entonces utilizar el valor de
π
dado por Ludolf, con treinta y cinco cifras decimales. En ese caso el error seria de una longitud equivalente a la millonésima parte del diámetro de un protón.

O, si no, tomemos un circulo
grande
, como, por ejemplo, la circunferencia del universo conocido. Se espera que los grandes radiotelescopios que están siendo construidos reciban señales desde distancias tan enormes como 40.000.000.000 de años-luz. Un círculo alrededor de un universo de ese radio tendría una longitud aproximada de 150.000.000.000.000.000.000.000 (ciento cincuenta mil trillones) de millas (240 mil trillones de kilómetros). Si se calculara la longitud de esta circunferencia con el valor de
π
de Ludolf, de treinta y cinco cifras decimales, el error no llegaría a la millonésima parte de una pulgada (2,5 cm).

¿Qué decir entonces del valor de
π
calculado por Sharpe, con setenta y dos cifras decimales?

Es evidente que el valor de
π
que se conocía en la época en que se demostró que era irracional ya era mucho más preciso de lo que la ciencia podría jamás desear, en la actualidad o en el futuro.

Y, sin embargo, aunque los científicos ya no tenían necesidad de conocer el valor de
π
más allá de lo calculado hasta entonces, los cálculos prosiguieron durante la primera mitad del siglo XIX.

Un tal George Vega calculó 140 valores decimales de p; otro llamado Zacarías Dase llegó hasta 200, y un tal Recher hasta los 500.

Por último, en 1873, William Shanks calculó el valor de
π
con 707 cifras decimales, lo que estableció una marca hasta 1949, y no es extraño: Shanks tardó quince años en hacer este cálculo, y, por si les interesa, no encontró ninguna clase de repetición.

Cabe preguntarse qué motivo puede tener un hombre para pasarse quince años dedicado a una tarea que no va a tener ninguna utilidad. Quizá se trate de la misma actitud mental que empuja a alguien a sentarse sobre el asta de una bandera o a tragarse peces de colores para «batir el record». O quizá Shanks quería hacerse famoso.

Si es así, lo consiguió. La historia de las matemáticas, llena de referencias a los trabajos de hombres como Arquímedes, Fermat, Newton, Euler y Gauss, también incluye una línea en la que da cuenta de que William Shanks se pasó los años anteriores a 1873 calculando el valor de
π
con 707 cifras decimales. así que al menos puede que no hubiera vivido en vano.

Pero, ¡ay de la vanidad humana!

En 1949 los ordenadores gigantes estaban empezando a ganar terreno, y de vez en cuando los muchachos que los manejaban, llenos de vida. de ganas de divertirse y de cerveza, tenían tiempo para jugar con ellos.

Así que en una ocasión metieron una de estas series interminables en un ordenador llamado ENIAC, y lo pusieron a calcular el valor de p. Lo tuvieron trabajando setenta horas, al término de las cuales había calculado el valor de
π
(¡el fantasma de Shanks!) con 2.035 valores decimales
^[1]
.

Y para rematar al pobre Shanks y sus quince años desperdiciados, se descubrió un error en el dígito quinientos y tantos del valor calculado por él, de manera que todos los dígitos siguientes, bastante más de cien, ¡estaban mal!

Y, por supuesto, por si se les ha ocurrido preguntárselo, lo que no deberían hacer, les diré que los valores calculados por los ordenadores no presentan tampoco rastro alguno de repeticiones.

NOTA

Como es natural, algunos de mis artículos se han ido quedando más o menos anticuados. En la época en que escribí este articulo se había calculado el valor de
pi
con 10.000 cifras decimales, como ya he dicho.

Pero los matemáticos no se contentaron con esto. En 1988 se disponía de ordenadores mucho más rápidos y más capaces que las tonterías de finales de la década de los cincuenta. A principios de 1988, un informático japonés de la Universidad de Tokio, llamado Yasumasa Kanada, tuvo a un superordenador trabajando seis horas y obtuvo un valor de
π
con 201.326.000 cifras decimales.

¿Qué sentido tiene, si la expresión decimal de
pi
es infinita y un mayor número de cifras decimales no aporta nada interesante desde un punto de vista matemático?

Bien; en primer lugar, es una manera cómoda de poner a prueba un nuevo ordenador o un nuevo programa. Una vez que se ha fijado este valor de manera definitiva con un par de cientos de millones de cifras decimales, se puede hacer que cualquier ordenador calcule el valor de
pi
con un nuevo programa. Si comete el más mínimo error, es que hay algún fallo en sus circuitos o en el programa.

Lo mejor que tiene escribir estos artículos es que me obliga a ejercitar la mente constantemente. Tengo que estar con los ojos y los oídos siempre abiertos, atento a cualquier cosa que haga saltar la chispa de un tema que me parezca que puede ser de interés para el lector.

Por ejemplo, hoy me ha llegado una carta con una pregunta sobre el sistema duodecimal, en el que se cuenta por docenas en lugar de por decenas, y esto ha provocado una reacción mental en cadena que me ha llevado hasta la astronomía y que además me ha dado una idea que, que yo sepa, no se le había ocurrido a nadie antes que a mi.

Lo primero que se me ocurrió es que, después de todo, el sistema duodecimal se utiliza para algunas cosas. Por ejemplo, decimos que doce objetos constituyen una docena, y que doce docenas son una gruesa. Pero, que yo sepa, doce no se ha utilizado nunca como base para un sistema numérico, excepto en los juegos de los matemáticos.