El hombre anumérico (12 page)

Muy pocos estudiantes aprueban la enseñanza básica sin saber las cuatro reglas de la aritmética, pero muchos pasan sin entender que si uno va a 50 km/h durante cuatro horas, recorrerá 200 kilómetros en total; que si los cacahuates cuestan 40 centavos la onza y una bolsa cuesta 2,20 dólares, entonces la bolsa contiene 5,5 onzas de cacahuates; que si 1/4 de la población mundial son chinos y 1/5 del resto son indios, entonces 3/20 o el 15% de los habitantes del mundo son indios. Esta clase de comprensión no es, naturalmente, tan simple como saber que 35 × 4 = 140, que (2,2)/(0,4) = 5,5, o que (1/5) × (1- 1/4) = 3/20 = 0,15 = 15 por cien. Y como muchos estudiantes de los niveles elementales no llegan a ello de un modo natural, hay que insistir planteándoles muchos problemas, algunos prácticos y otros imaginarios.

En general, aparte de unas pocas lecciones sobre redondeo de números, tampoco se enseña a hacer cálculos. Y raramente se enseña que el redondeo y las estimaciones razonables tengan algo que ver con la vida real. No se pide a los estudiantes de la escuela primaria que hagan un cálculo de cuántos ladrillos hay en una pared de la escuela, de la velocidad a que es capaz de correr el más rápido, del porcentaje de estudiantes cuyos padres son calvos, del cociente entre la circunferencia de la cabeza de alguien y su estatura, de cuántas monedas de cinco centavos hacen falta para hacer una torre de la altura del Empire State Building, o si dichas monedas cabrían en el aula de estudio.

Casi nunca se enseña a razonar inductivamente, ni se estudian los fenómenos matemáticos con vistas a captar las reglas y propiedades más relevantes. Las discusiones de lógica informal son tan frecuentes en los cursos de matemática elemental como las discusiones sobre las sagas de Islandia. No se comentan enigmas, juegos ni adivinanzas y estoy convencido de que en muchos casos se debe a que los alumnos brillantes podrían superar muy fácilmente a sus maestros. En sus encantadores libros de divulgación matemática y en sus columnas de
Scientific American
Martin Gardner ha explorado de un modo sumamente atractivo la íntima relación que hay entre esos juegos y las matemáticas. Dichos libros, lo mismo que
How to Solve It
(«Cómo resolverlo») o
Mathematics and Plausible Readings
(«Matemáticas y lectura posible») del matemático George Polya, serían una lectura recomendada muy estimulante para los estudiantes de bachillerato o para los primeros cursos de universidad (bastaría que se los recomendaran). Un libro encantador con un sabor bastante parecido al de los anteriores, pero en un nivel más elemental, es
I Hate Mathematics
(«Odio las matemáticas»), de Marilyn Burns. Está lleno de lo que no suele haber en los libros de texto de mates elementales: indicaciones heurísticas para la resolución de problemas e imaginación.

En cambio, demasiados libros de texto se dedican aún a presentar listas de nombres y palabras, y las ilustraciones, cuando las hay, son pocas. Señalan, por ejemplo, que la suma tiene la propiedad asociativa pues (a + b) + c = a + (b + c). Pero raramente se cita alguna operación que no lo sea, con lo que, en el mejor de los casos, la definición parece innecesaria. Y en cualquier caso, ¿qué se puede hacer con este fragmento de información? Parece también como si otros términos se introdujeran con la única razón fundamental de que, impresos en negrita y enmarcados en un recuadro en medio de la página, quedan bonitos. Satisfacen la idea que mucha gente tiene del conocimiento, como una especie de botánica general en la que hay un lugar para cada cosa y cada cosa tiene su lugar. La matemática como herramienta útil, como modo de pensar o como fuente de placer es algo completamente ajeno a la mayoría de programas de la educación elemental (incluso de aquellos que usan libros de texto adecuados).

Puede pensarse que a estas alturas ya tendríamos que disponer de material informático que facilitara la enseñanza de los fundamentos de la aritmética y sus aplicaciones (problemas de enunciado, estimaciones, etc.). Por desgracia los programas que tenemos en la actualidad son, demasiado a menudo, simples transcripciones, a monitor de televisión, de listas poco imaginativas correspondientes a ejercicios rutinarios sacadas de los libros de texto. No sé de ningún problema que ofrezca un enfoque efectivo, coherente e integrado de la aritmética y sus aplicaciones en la resolución de problemas.

Parte de la culpa de la pobre instrucción que se recibe en la escuela primaria recae en los maestros poco competentes y que en el fondo sienten poco aprecio y tienen poco interés en las matemáticas. Y, a su vez, la culpa de que esto ocurra la tienen las escuelas de magisterio que en sus cursos de formación de profesorado insisten poco en la importancia de las matemáticas, si es que lo hacen. Según mi propia experiencia, los estudiantes que se preparan para enseñar mates en la escuela secundaria (contrariamente a lo que ocurre con los estudiantes de la licenciatura de matemáticas) son generalmente los peores que asisten a mis clases. El bagaje matemático de los futuros maestros de escuela primaria es peor aún y, en muchos casos, inexistente.

Una solución parcial podría consistir en contratar uno o dos matemáticos para cada escuela primaria, que fueran pasando por las distintas clases y reforzaran (o se hicieran cargo de) la enseñanza de las matemáticas. A veces pienso que podría ser una buena idea que los profesores de mates y los maestros de primaria cambiaran sus puestos durante unas semanas al año. Estar en manos de maestros de primaria no supondría ningún perjuicio para los futuros licenciados y doctores en matemáticas (de hecho, aquéllos podrían aprender algo de éstos) y en cambio, para los alumnos de los ciclos medio y superior de la primaria sería provechoso aprender acertijos y juegos matemáticos presentados por gente competente.

Y ahora una pequeña digresión. Esta conexión entre los acertijos y las matemáticas se mantiene incluso en el nivel universitario, tanto en la docencia como en la investigación, y lo mismo cabría decir del humor. En mi libro
Mathematics and Humor
(«Matemáticas y humor») intenté demostrar que ambas actividades son formas de juego intelectual que a menudo confluyen en rompecabezas, acertijos, juegos y paradojas.

Tanto la matemática como el humor son combinatorios, uniendo y separando ideas por mera diversión: yuxtaponiendo, generalizando, iterando o invirtiendo (AIXELSID). ¿Qué pasa si se relaja esta condición y aquélla se hace más restrictiva? ¿Qué tiene en común esta idea los trenzados, por ejemplo con aquella, que aparentemente pertenece a un campo muy dispar, las simetrías de cierta figura geométrica, por ejemplo? Naturalmente, esta faceta de la matemática no es muy conocida, ni siquiera para quienes tienen cierta cultura numérica, pues para poder jugar con los conceptos matemáticos hace falta tenerlos previamente muy claros. Son muy importantes también, tanto para la matemática como para el humor, la ingenuidad, cierto sentido de la economía en la expresión y capacidad para detectar lo absurdo.

Los matemáticos tienen, como se puede apreciar, un sentido del humor característico, que podría ser fruto de su preparación. Suelen tomar las expresiones al pie de la letra, y este sentido literal es a menudo incongruente con el corriente, y de ahí su comicidad. Encuentran placer en la reducción al absurdo, la práctica lógica de llevar una premisa a sus últimas consecuencias, y en diversas clases de juegos de combinación de palabras.

Si la formación matemática comunicara esta faceta lúdica del tema, ya sea formalmente, a los niveles de enseñanza, primario, medio o universitario, o informalmente en libros de divulgación, no creo que el anumerismo estuviera tan extendido como está.

La educación secundaria y la universitaria

Cuando los estudiantes llegan al bachillerato, el problema de la capacidad del profesor es ya más crítico. La industria de los ordenadores, la banca u otros campos de la misma naturaleza absorben una parte tan importante de los pocos matemáticos bien preparados, que pienso que sólo se podrá evitar que empeore la situación en nuestros institutos con incentivos salariales sustanciosos para los profesores de matemáticas bien cualificados. Como en este nivel no es tan importante haber recibido un gran número de cursos pedagógicos como cierta maestría en las matemáticas esenciales, podría ser provechoso dejar la enseñanza de las matemáticas en manos de ingenieros retirados y otros profesionales científicos. En la situación actual, en muchos casos no se consigue que los estudiantes adquieran los elementos básicos de la cultura matemática. En 1579 Vieta empezó a usar las variables algebraicas X, Y, Z, etc. para simbolizar cantidades desconocidas. La idea es simple, y sin embargo muchos estudiantes de bachillerato de hoy son incapaces de seguir este método de razonamiento que ya ha cumplido los cuatrocientos años: siendo X una incógnita, encontrar la ecuación que ha de satisfacer X y despejarla para determinar el valor que buscamos.

Incluso cuando las incógnitas están representadas convenientemente y se puede plantear la ecuación, con demasiada frecuencia las manipulaciones necesarias para su resolución sólo se comprenden vagamente. Ojala me dieran cinco dólares por cada estudiante que, teniendo aprobado el álgebra del bachillerato, escribe en una prueba de acceso a la universidad que (X + Y)
²
= X
²
+ Y
²
.

Aproximadamente cincuenta años después de que Vieta introdujera el uso de las variables algebraicas, Descartes ideó un modo de asociar a cada punto del plano un par ordenado de números reales y, de este modo, relacionar las ecuaciones algebraicas con las curvas geométricas. El campo de la matemática que resultó de esa idea tan fundamental es la geometría analítica, esencial para entender el cálculo; sin embargo, nuestros estudiantes salen de los institutos sin saber representar gráficamente rectas ni parábolas.

En la escuela secundaria ni tan sólo se enseña eficazmente la idea griega (que ya tiene 2.500 años) de la geometría axiomática: partiendo de unos pocos axiomas evidentes que se dan por sentados, deducir los teoremas, con la única ayuda de la lógica. ¡Uno de los libros más usados en las clases de geometría de la escuela secundaria emplea más de cien axiomas para demostrar un número similar de teoremas! Con tantos axiomas, los teoremas son superficiales, carecen de profundidad, y bastan tres o cuatro pasos para demostrarlos.

Además de alcanzar cierto nivel de comprensión del álgebra, la geometría y la geometría analítica, los estudiantes de bachillerato deberían oír hablar de las ideas principales de lo que se conoce como matemática finita. La combinatoria (que estudia los diversos modos de contar las permutaciones y combinaciones de objetos), la teoría de grafos (que estudia redes de líneas y vértices, así como los fenómenos que se pueden modelizar con estas técnicas), la teoría de juegos (teoría matemática de los juegos de toda clase), y en especial la probabilidad, son cada vez más importantes. De hecho, la reforma consistente en enseñar cálculo en algunos institutos me parece perversamente equivocada si significa que los temas de matemática finita que he citado hayan de eliminarse. (Estoy refiriéndome ahora a un programa de estudios ideal para instituto. Según el último «Mathematics Report Card» del
Educational Testing Service
, la mayoría de los estudiantes norteamericanos de bachillerato apenas si saben resolver los problemas elementales de que hablaba unas páginas atrás.)

El instituto es el lugar idóneo para llegar a los estudiantes. Cuando han accedido a la universidad ya es demasiado tarde para muchos de ellos, pues carecen de la base adecuada en álgebra y geometría analítica. Y aun los estudiantes con una base matemática razonable no son siempre conscientes de hasta qué punto otros campos del conocimiento se están «matematizando», con lo que también ellos eligen un mínimo de matemáticas en la universidad.

Las mujeres, en particular, pueden ir a parar a campos poco provechosos porque hacen todo lo posible por ahorrarse un curso de química o de economía en los que se pida un nivel previo de matemáticas o estadística. He visto a demasiadas mujeres brillantes que iban a parar a sociología y a demasiados hombres mediocres que iban a económicas, y la única diferencia era que los hombres habían logrado aprobar por los pelos un par de asignaturas de matemáticas en la universidad.

Los estudiantes de la licenciatura de matemáticas, que reciben los cursos de fundamentos de ecuaciones diferenciales, cálculo superior, álgebra abstracta, álgebra lineal, topología, lógica, probabilidad y estadística, análisis real y complejo, etc., tienen muchas opciones, además de matemáticas e informática, en una variedad creciente de campos que emplean las matemáticas. Incluso en la prospectiva para empleos en campos que no tienen nada que ver con las matemáticas, muchas compañías piden licenciados en matemáticas, pues saben que la capacidad analítica será útil a cualquiera, en cualquier trabajo.

Los licenciados en matemáticas que continúan y realizan su tercer ciclo encontrarán que, contrariamente a lo que ocurre en los niveles inferiores, los estudios de posgrado en matemáticas son de los mejores del mundo. Lamentablemente, ya es demasiado tarde para la mayoría y esta excelencia no se filtra a los niveles inferiores, debido en buena parte a que los matemáticos norteamericanos no han sido capaces de llegar a un público más amplio que el reducido número de especialistas que leen sus artículos de investigación.

Descontando algunos autores de libros de texto, no pasan de un puñado los autores matemáticos que tienen un público no experto superior al millar de lectores. Dada esta triste realidad, no es sorprendente que pocas personas cultas se atrevan a admitir que no tienen la menor idea de quiénes fueron Shakespeare, Dante o Goethe, y en cambio la mayoría confiese abiertamente su ignorancia sobre Gauss, Euler o Laplace, que en cierto sentido son sus equivalentes matemáticos. (Newton no cuenta, pues es mucho más famoso por su contribución a la física que por haber inventado el cálculo.)

Incluso en los estudios de posgrado y en la investigación se dan signos de mal agüero. Hay tantos estudiantes extranjeros que cursan el doctorado en los Estados Unidos y tan pocos estudiantes norteamericanos que siguen la licenciatura en matemáticas, que en muchos departamentos los licenciados norteamericanos son minoría. De hecho, de los 739 doctorados en matemáticas acabados en las universidades norteamericanas en el curso 1986-1987, sólo un poco menos de la mitad, 362, correspondieron a ciudadanos de los Estados Unidos.