El hombre anumérico (4 page)

Como la probabilidad de que una ruleta se pare en rojo es 18/38, y como las distintas tiradas de una ruleta son independientes, la probabilidad de que salga rojo cinco veces seguidas es (18/38)
⁵
(esto es, 0,024 ó 2,4 %). Del mismo modo, dado que la probabilidad de que alguien escogido al azar no haya nacido en julio es 11/12, y que los cumpleaños de las personas son independientes, la probabilidad de que de entre doce personas elegidas al azar ninguna haya nacido en julio es (11/12)
¹²
(es decir 0,352 ó 35,2%). El concepto de independencia de los acontecimientos juega un papel muy importante en la teoría de la probabilidad, y cuando se da, la regla del producto simplifica considerablemente los cálculos.

El jugador Antoine De Gambaud, Chevalier de Mère, planteó al filósofo y matemático francés Pascal uno de los problemas más antiguos de la teoría de la probabilidad. De Gambaud quería saber cuál de los dos casos siguientes es más probable: sacar por lo menos un 6 al tirar cuatro veces un solo dado, o sacar un 12 en veinticuatro tiradas con dos dados. La regla del producto aplicada a las probabilidades basta para hallar el resultado si se tiene en cuenta también la probabilidad de que no se dé un caso es igual a 1 menos la probabilidad de que sí ocurra (si el riesgo de lluvia es de un 20 %, la probabilidad de que no llueva es del 80 %).

Como la probabilidad de que no salga ningún 6 en una tirada del dado es 5/6, la probabilidad de que no salga en ninguna de las cuatro tiradas es (5/6)
⁴
. Restando este número de 1 tendremos la probabilidad de que este caso (ningún 6) no ocurra, es decir, de que salga por lo menos un 6: 1 - (5/6)
⁴
= 0,52. Análogamente, la probabilidad de que por lo menos salga un 12 en veinticuatro tiradas de un par de dados resulta ser 1 - (35/36)
²⁴
= 0,49.

Un ejemplo más contemporáneo del mismo tipo de cálculo lo tenemos en la probabilidad de contraer el SIDA por vía heterosexual. Se estima que el riesgo de contraer esta enfermedad en un solo contacto heterosexual sin protección con un compañero afectado del SIDA es aproximadamente de uno entre quinientos (ésta es la media de los resultados de cierto número de estudios). Por tanto, la probabilidad de no contraerlo en un solo contacto es 499/500. Si, como muchos suponen, los riesgos son independientes, entonces la probabilidad de no ser víctima al cabo de dos contactos es (499/500)
²
, y después de N encuentros es (499/500)
^N
. Como (499/500)
³⁴⁶
es 1/2, el riesgo de contraer el SIDA llega a ser aproximadamente del 50% al cabo de un año de coitos heterosexuales diarios sin protección, con un portador de la enfermedad.

Si se usa condón, el riesgo de ser contagiado en un coito heterosexual con un portador reconocido de la enfermedad disminuye a uno sobre cinco mil, y una relación sexual diaria durante diez años con esa persona enferma (suponiendo que éste sobreviva durante todo este tiempo) comportaría un riesgo del 50% de contagio. Si no se conoce el estado de salud del compañero (o compañera), pero se sabe que no está en ningún grupo de riesgo conocido, la probabilidad de contagio en un solo coito es de uno sobre cinco millones sin usar preservativo, y de uno sobre cincuenta millones en caso contrario. Es mayor el riesgo de morir en accidente de automóvil al volver a casa después de la cita.

A menudo dos partes contrarias deciden un resultado lanzando una moneda al aire. Cualquiera de las dos partes, o ambas, podrían sospechar que la moneda está cargada. Aplicando la regla del producto, el matemático John von Neumann ideó un truco que permite que los contendientes usen una moneda cargada y sin embargo se obtengan resultados limpios.

Se tira dos veces la moneda. Si salen dos caras o dos cruces, se vuelve a tirar otras dos veces. Si sale cara-cruz, gana la primera parte, y si sale cruz-cara, gana la segunda. La probabilidad de ambos resultados es la misma, aun si la moneda está cargada. Por ejemplo, si sale cara el 60% de las veces y cruz el 40% restante, la secuencia cruz-cara tiene una probabilidad de salir de 0,4 × 0,6 = 0,24, y la secuencia cara-cruz, una probabilidad de 0,6 × 0,4 = 0,24. Así pues, ambas partes pueden estar seguras de la limpieza del resultado, a pesar de que la moneda sea defectuosa (a no ser que se hagan otro tipo de trampas).

Un instrumento importante, íntimamente relacionado con la regla del producto y los números combinatorios, es la distribución binomial de probabilidad. Aparece siempre que consideramos una prueba o procedimiento que admite dos resultados, llamémosles «positivo» y «negativo», y pretendemos conocer la probabilidad de que al cabo de una serie de N intentos se obtenga «positivo» en R de ellos. Si el 20% de todos los refrescos servidos por una máquina expendedora se derraman del vaso, ¿cuál es la probabilidad de que en las próximas diez ventas se derramen exactamente tres? ¿Y tres como máximo? ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de cinco hijos exactamente tres sean chicas? Si una décima parte de las personas tienen cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre cien personas escogidas al azar exactamente ocho de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo? ¿Y ocho como máximo?

Pasemos a resolver el problema de la máquina expendedora de refrescos que derrama líquido en el 20% de los vasos que sirve. La probabilidad de que el vaso se desborde en los tres primeros refrescos y no en los siete restantes es, aplicando la regla del producto para la probabilidad: (0,2)
³
× (0,8)
⁷
. Pero hay muchas maneras de que sean exactamente tres los vasos derramados en diez ventas, y la probabilidad de cada una de ellas es precisamente (0,2)
³
× (0,8)
⁷
. Podría ser que sólo se vertieran los tres últimos, o sólo el cuarto, el quinto y el noveno, etc. Por tanto, como hay (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1) = 120 maneras distintas de elegir tres vasos de entre diez (número combinatorio), la probabilidad de que algún conjunto de tres vasos se vierta es 120 × (0,3)
³
× (0,8)
⁷
.

Para determinar la probabilidad de que se derramen tres vasos como máximo, se calcula primero la probabilidad de que se derramen exactamente tres, cosa que ya hemos hecho, y se le suman las probabilidades de que se derramen dos, uno y cero, respectivamente. Estas probabilidades se determinan por el mismo procedimiento. Afortunadamente disponemos de tablas y de buenas aproximaciones que nos sirven para acortar este tipo de cálculos.

Julio César y tú

Para terminar, daremos otras dos aplicaciones de la regla del producto, la primera un tanto deprimente y la segunda, esperanzadora. La primera es la probabilidad de no sufrir ninguna enfermedad, accidente u otra desgracia de cierta lista que enumeraré. No morir en un accidente de automóvil es seguro en un 99%, mientras que un 98% de nosotros se salvará de morir en un accidente doméstico. Tenemos una probabilidad del 95% de librarnos de una enfermedad pulmonar; un 90% de la locura; un 80% de cáncer, y un 75% del corazón. He tomado sólo estas cifras a modo de ejemplo, pero se pueden hacer estimaciones muy precisas para una amplia gama de posibles calamidades. Y aunque la probabilidad de librarse de cada una de estas enfermedades o accidentes por separado es alentadora, la de salvarse de todas no lo es. Si suponemos que, en general, estas desgracias son independientes, y multiplicamos todas las probabilidades citadas, el producto se hace en seguida inquietantemente pequeño: la probabilidad de no padecer ninguna desgracia de esta corta lista que he citado es menor del 50%. Resulta pues preocupante que algo tan inofensivo como la regla del producto pueda intensificar en tal medida nuestra mortalidad.

El segundo ejemplo, más esperanzador, trata de una especie de persistencia inmortal. Primero, apreciado lector, inspira profundamente. Supongamos que el relato de Shakespeare es exacto y que César dijo «Tú también, Bruto» antes de expirar. ¿Cuál es la probabilidad de que hayas inhalado por lo menos una de las moléculas que exhaló César en su último suspiro? La respuesta es sorprendentemente alta: más del 99%.

Por si no me crees, he supuesto que al cabo de más de dos mil años esas moléculas se han repartido uniformemente por el mundo y que la mayoría aún están libres en la atmósfera. Una vez aceptadas estas hipótesis tan razonables, el cálculo de la probabilidad que nos interesa es inmediato. Si hay N moléculas de aire en la atmósfera, de las cuales A fueron exhaladas por César, la probabilidad de que hayas inhalado una de estas últimas molécula es A/N. Por el contrario, la probabilidad de que cualquier molécula que hayas inhalado no proceda de César es 1 - A/N. Por la regla del producto, si inhalas tres moléculas, la probabilidad de que ninguna de ellas venga de César es (1 - A/N)
³
. Análogamente, si inhalas B moléculas, la probabilidad de que ninguna proceda de César es aproximadamente (1 - A/N)
^B
. Por tanto, la probabilidad del caso complementario, que hayas inhalado al menos una de las moléculas que se exhaló, es 1 - (1 - A/N)
^B
. A y B valen 1/30 de litro, o sea 2,2 × 10
²²
moléculas; y N vale aproximadamente 10
⁴⁴
moléculas. Son valores que hacen que esta probabilidad sea mayor que 0,99. Es fascinante que a la larga hayamos de ser los unos parte de los otros, al menos en el sentido mínimo de este ejemplo.

No es ningún milagro que, en el largo transcurrir del tiempo, mientras Fortuna sigue su curso acá y acullá, hayan de ocurrir espontáneamente numerosas coincidencias.

Plutarco

«Tú también eres Capricornio. ¡Qué emoción!»

Un hombre que viajaba mucho estaba preocupado por la posibilidad de que hubiera una bomba en su avión. Calculó la probabilidad de que fuera así y, aunque ésta era baja, no lo era lo suficiente para dejarlo tranquilo. Desde entonces lleva siempre una bomba en la maleta. Según él, la probabilidad de que haya dos bombas a bordo es infinitesimal.

Algunos cumpleaños y un cumpleaños determinado

Sigmund Freud señaló en cierta ocasión que las coincidencias no existen. Carl Jung habló de los misterios de la sincronización. Y en general la gente habla de ironías por aquí e ironías por allá. Tanto si las llamamos coincidencias, sincronizaciones o ironías, resulta que son mucho más frecuentes que lo que la gente cree.

He aquí algunos ejemplos representativos: «¡Oh! Pues mi cuñado fue también a esa escuela, el hijo de mi amigo le cuida el césped al director, y además la hija de mi vecino conoce a una chica que había sido jefa de animadoras del equipo de la escuela». «La idea de pez ha salido en cinco ocasiones desde que ella me ha confesado esta mañana que le asustaba pescar en medio del lago. Pescado para comer, el motivo de los peces del vestido de Carolina, el…». Cristóbal Colón descubrió el Nuevo Mundo en 1492 y su compatriota Enrico Fermi descubrió el nuevo mundo del átomo en 1942. «Primero dijiste que querías seguirle la corriente a él, pero luego dijiste que querías seguirle la corriente a ella. Está clarísimo lo que te pasa.» La razón entre las alturas de los edificios Sears de Chicago y Woolworth de Nueva York coincide en lo que respecta a las cuatro primeras cifras (1,816 por 1.816) con la razón entre las masas del protón y el electrón. Reagan y Gorbachov firmaron el tratado INF el 8 de diciembre de 1987, exactamente siete años después de que John Lennon fuera asesinado.

Una de las principales características de las personas anuméricas es la tendencia a sobrestimar la frecuencia de las coincidencias. Generalmente dan mucha importancia a todo tipo de correspondencias, y, en cambio, dan muy poca a evidencias estadísticas menos relumbrantes, pero absolutamente concluyentes. Si adivinan el pensamiento de otra persona, o tienen un sueño que parece que ha ocurrido, o leen que, pongamos por caso, la secretaria del presidente Kennedy se llamaba Lincoln y que la del presidente Lincoln se llamaba Kennedy, lo consideran una prueba de cierta armonía maravillosa y misteriosa que rige de algún modo su universo personal. Pocas experiencias me descorazonan más que encontrarme con alguien que parece inteligente y abierto, que de pronto me pregunta por mi signo del zodíaco y que luego empieza a encontrar características de mi personalidad que encajan en ese signo (independientemente de qué signo le haya dicho yo).

El siguiente resultado, bien conocido en probabilidad, es una buena ilustración de la sorprendente probabilidad de las coincidencias. Como el año tiene 366 días (incluimos el 29 de febrero), tendríamos que reunir 367 personas para estar seguros de que por lo menos dos personas del grupo han nacido el mismo día. ¿Por qué?

Ahora bien, ¿qué pasa si nos contentamos con tener una certeza de sólo el 50 %? ¿Cuántas personas habrá de tener el grupo para que la probabilidad de que por lo menos dos de ellas hayan nacido el mismo día sea una mitad? A primera vista uno diría que 183, la mitad de 366. La respuesta sorprendente es que sólo hacen falta veintitrés. En otras palabras, exactamente la mitad de las veces que se reúnen veintitrés personas elegidas al azar, dos o más de ellas han nacido el mismo día.

Para aquellos lectores que no se acaban de creer el resultado, he aquí una breve deducción. Según la regla del producto, cinco fechas distintas se pueden elegir de (365 × 365 × 365 × 365 × 365) maneras distintas (si se permiten las repeticiones). De estos 365
⁵
casos, en sólo 365 × 364 × 363 × 362 × 361 ocurre que no hay dos fechas repetidas; se puede escoger en primer lugar cualquiera de los 365 días, cualquiera de los 364 restantes en segundo, y así sucesivamente. Así pues, dividiendo este último producto (365 × 364 × 363 × 362 × 361) entre 365
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, tendremos la probabilidad de que cinco personas escogidas al azar no celebren el cumpleaños el mismo día.

Y si restamos esta probabilidad de 1 (o del 100% si trabajamos con porcentajes), tendremos la probabilidad complementaria de que al menos dos de las cinco personas hayan nacido el mismo día. Un cálculo análogo, tomando 23 en vez de 5, da 1/2, el 50% para la probabilidad de que por lo menos dos personas de entre 23 celebren el cumpleaños el mismo día.

Hace un par de años alguien trataba de explicar esto en el programa de Johnny Carson. Este no lo creyó y, como entre el público del estudio había unas 120 personas, preguntó cuántas de ellas habían nacido el mismo día, pongamos el 19 de marzo. Nadie se levantó y el invitado, que no era matemático, adujo algo incomprensible en su defensa. Lo que tendría que haber dicho es que hacen falta veintitrés personas para tener una certeza del 50% de que un par de ellas comparten algún cumpleaños, no uno concreto como el 19 de marzo. Se necesita un grupo mayor, 253 personas para ser exactos, para tener una seguridad del 50% de que una de ellas celebre su cumpleaños el 19 de marzo.