El Teorema (31 page)

—Como la mayoría de los que estamos presentes en esta aula, Laplace fue incomprendido por sus padres —dijo Caine mientras caminaba por delante de la pizarra—. Aunque su padre quería que fuera soldado o sacerdote, Laplace se decidió por la vida académica. Por lo tanto, cuando cumplió los dieciocho años marchó al epicentro académico de Francia: París. Allí consiguió un trabajo como profesor de geometría de los cadetes de una academia militar. Entre ellos había un chico bajito llamado Napoleón Bonaparte que, según me han dicho, hizo después algunas cosas extraordinarias.

Los doce estudiantes reunidos alrededor de la mesa se rieron cortésmente.

—En 1770, Laplace presentó su primer trabajo en la prestigiosa Académie des Sciences. Después de aquello, quedó claro para todos que era un genio matemático. Así que dedicó el resto de su vida a dos campos: la probabilidad y la astronomía. Casi treinta años más tarde, en 1799, unió los dos campos cuando publicó el libro de astronomía más importante de la época: Tratado de la mecánica celeste. El libro no sólo contenía una exposición analítica del sistema solar, sino que también incluía nuevos métodos para calcular las órbitas planetarias.

»Sin embargo, la razón por la que el Tratado de la mecánica celeste sigue considerándose hoy muy importante no es por sus hallazgos astronómicos, sino porque fue la primera persona que aplicó la teoría de las probabilidades a la astronomía. Laplace demostró que las múltiples observaciones de la posición de una estrella tendían a formar la curva con forma de campana que De Moivre había descrito en La doctrina del azar. Con la utilización de la teoría de las probabilidades, Laplace pudo predecir las posiciones planetarias y tener una mejor comprensión del universo.

—¿A qué se refiere con «múltiples observaciones de la posición de una estrella»? —preguntó un estudiante paliducho y con pelo lacio y oscuro.

—Ah, buena pregunta. —Caine se acercó a la pizarra—. En aquel entonces, uno de los grandes problemas de la astronomía era que todos tomaban sus mediciones un poco a ojo de buen cubero y, como las personas cometen errores, los datos no eran claros. Veinte astrónomos diferentes medían la posición de una estrella y obtenían veinte lecturas diferentes.

»Lo que hizo Laplace fue tomar aquellas veinte observaciones diferentes y elaborar un gráfico. Cuando lo hizo, vio que las posiciones formaban una curva sinusoide o con forma de campana como ésta. —Caine señaló una gráfica de distribución normal en la pared.

»En cuanto vio esto, exclamó: «Ajá, si las observaciones están en una distribución normal, y la punta de la curva sinusoide señala el probable valor real de la muestra, entonces la punta es probablemente la posición real de la estrella». Ahora nos parece un tanto obvio, pero en aquel momento, fue revolucionario. Ése fue el primer ejemplo de cómo alguien aplicaba la teoría de las probabilidades a otra disciplina. Laplace dijo que, si bien era imposible saber la posición exacta de una estrella, era posible saber la posición de la estrella con cierto grado de probabilidad.

Caine hizo una pausa, sólo para asegurarse de que todos lo comprendían.

—Laplace no se detuvo ahí. En 1805, publicó el cuarto volumen del Tratado de la mecánica celeste, donde desarrolló una aproximación filosófica a la física absolutamente nueva. Propuso que todos los fenómenos en la naturaleza se podían entender con el estudio de las fuerzas entre las moléculas. Empleó esa nueva teoría para estudiarlo todo; desde la presión atmosférica a la refracción astronómica, y una vez más utilizó herramientas como las curvas con forma de campana para medir diferentes fenómenos.

»E1 máximo logro de Laplace llegó en 1812 cuando publicó Teoría analítica de las probabilidades. Allí presentó el método de los cuadrados mínimos y la importancia de minimizar los errores.

Un estudiante regordete llamado Steve levantó la mano.

—Me he perdido.

Caine recordó que como su seminario sobre «Pensadores estadísticos modernos» también daba créditos de Historia, no se exigían conocimientos de estadística como prerrequisito. Como había otros tres estudiantes de Historia en el seminario, tendría que explicar el significado de «minimizar los errores». Se rascó la cabeza mientras pensaba por dónde empezar.

—¿Conoces la diferencia entre estadística y probabilidad?

Steve y los otros estudiantes de Letras negaron con la cabeza.

—De acuerdo. La teoría de las probabilidades es el estudio de los acontecimientos atribuidos o donde supuestamente interviene el «azar», como tirar los dados o lanzar una moneda al aire; la estadística se refiere a la medición de hechos concretos, como las tasas de nacimientos o de mortalidad. En otras palabras, la teoría de las probabilidades se emplea para derivar las ecuaciones que predicen las estadísticas.

Si bien a Caine le pareció que una bombilla se encendía por encima de la cabeza de Steve, no estaba tan seguro respecto a los otros dos, así que recurrió al ejemplo tradicional.

—Comencemos con un ejemplo sencillo. Digamos que lanzo una moneda cuatro veces seguidas. ¿Cuántas caras creéis que conseguiré?

—Dos —contestó Steve.

—¿Por qué?

—Porque saldrán caras la mitad de las veces, y la mitad de cuatro es dos.

—En esencia lo que has hecho es utilizar la teoría de las probabilidades para predecir una estadística: el número de caras. Lo creas o no, has creado una ecuación para resolver el problema.

Caine escribió:

C = Número de caras conseguidas

T = Número de tiradas

Prob (C) = probabilidad de que salga cara cuando se lanza la moneda.

¿Cuántas caras predices en cuatro tiradas?

C = Prob (C) • T

C = 0,5 • 4

C = 2

—Aunque sabemos que el resultado más probable de lanzar cuatro veces es dos caras y dos cruces, ¿creéis que el número de caras será siempre dos todas las veces?

—No.

—Correcto. De hecho, la mayoría de las veces, no tendremos dos caras.

Steve lo miró, desconcertado.

Un momento, ¿no acaba de decir que dos caras es el resultado más probable?

—Así es.

—Entonces no lo entiendo. ¿No saldrán dos caras por lo menos la mitad de las veces? —preguntó.

—No. Hay dieciséis resultados posibles cuando lanzas una moneda al aire cuatro veces seguidas. Te lo demostraré:

C = Número de caras conseguidas.

+ = Número de cruces conseguidas

n = número de posibles resultados en cuatro tiradas

C = 0 ⇒ ++++ (n = 1)

C = 1 ⇒ C+++, ++++, ++C+, +++C (n = 4)

C = 2 ⇒ CC++, C+C+, C++C, +CC+, +C+C, ++CC (n = 6)

C = 3 ⇒ CCC+, CC+C, C+CC, +CCC (n = 4)

C = 4 ⇒ CCCC (n = 1)

Por lo tanto.

n=l+4 + 6+4+l

n= 16

»¿Lo veis? De las dieciséis posibilidades diferentes, sólo seis darán como resultado dos caras y dos cruces. Por lo tanto, en diez de los dieciséis intentos, o el 62,5 por ciento de las veces, no saldrán dos caras. Así que os lo pregunto de nuevo: ¿si digo que voy a lanzar una moneda cuatro veces seguidas, cuántas caras creéis que conseguiré?

Steve miró lo que Caine había escrito en la pizarra y frunció el entrecejo mientras pensaba.

—Yo sigo creyendo que dos.

—¿Por qué dirías dos cuando acabo de demostrar que estarías equivocado el 62,5 por ciento de las veces?

—Porque si escojo cualquier otro número, me equivocaré más del 62,5 por ciento de las veces.

—Exacto —afirmó Caine y chasqueó los dedos—. Si dices una cara o tres caras, te equivocarías el 75 por ciento de las veces, y si dices ninguna cara o cuatro caras, te equivocarías el 93,75 por ciento de las veces. —Caine sonrió—. Al elegir dos caras, escoges la respuesta que minimiza la probabilidad de equivocarte. Ese es el fundamento de toda la teoría de las probabilidades: minimizar los errores. A pesar de que el resultado de las tiradas es probable que sea otro número distinto de dos caras, tu ecuación original: C = 0,5 * T, sigue siendo válida, porque es la que mejor describe el fenómeno. Otra manera de verificarlo es trazar un gráfico con los datos. Como ves, traza una curva sinusoide natural, y el punto superior de la curva refleja la tendencia natural del fenómeno.

»Lo que hizo Laplace fue aproximadamente lo mismo, excepto que en lugar de predecir el número de caras, utilizó miles de observaciones astronómicas y desarrolló ecuaciones para predecir las órbitas planetarias.

—De acuerdo, ya lo entiendo —manifestó Steve—, pero sigo sin comprender por qué es importante.

—Es importante porque demuestra cómo funciona la teoría de las probabilidades. Laplace demostró que la mejor manera de predecir la realidad no es calcular la respuesta correcta sino establecer cuál sería la respuesta menos errónea. En el ejemplo de la moneda, a pesar de que la posibilidad de conseguir dos caras en cuatro tiradas es sólo del 37,5 por ciento. La posibilidad de conseguir cualquier otro número de caras es incluso menor, y por lo tanto, la predicción de tener dos caras es la menos errónea y por consiguiente la más correcta.

»Por eso Laplace pudo predecir las órbitas de los planetas mientras que los demás no pudieron. Desarrolló ecuaciones que minimizaban las diferencias en los datos de todos los astrónomos y así pudo determinar las órbitas planetarias que tenían las menores probabilidades de ser incorrectas.

—Y por lo tanto la mayor probabilidad de ser correctas —dijo Steve.

—Efectivamente —asintió Caine, complacido al ver que Steve parecía haberlo comprendido—. Lo importante es tener claro que a través de este método, y otros más en la teoría de las probabilidades, nunca puedes estar absolutamente seguro de nada, dado que la meta de las ecuaciones es minimizar los errores, no eliminarlos.

—¿Por qué no se quiere eliminar los errores? —preguntó una morena llamada Amber.

Técnicamente podrías desearlo, pero es imposible eliminar del todo los errores porque nunca dispondrás de la información necesaria y suficiente para desarrollar una ecuación predictiva perfecta.

—¿Por qué no?

Piensa en las encuestas que publican los periódicos antes de unas elecciones. Nunca son correctas al ciento por ciento porque es imposible preguntarle a cada votante. Sin embargo, si haces un sondeo en una muestra de votantes de diferentes niveles socioeconómicos, estarás en condiciones de desarrollar las ecuaciones para predecir cuál de los candidatos tiene las mayores probabilidades de ganar. Por eso verás que las encuestas siempre tienen un margen de error de uno o dos puntos, y lo tienen porque los resultados de las encuestas son probabilidades, no resultados reales.

»La teoría de las probabilidades da a los científicos la libertad de asumir que una respuesta es «correcta» incluso cuando no tienen una certeza absoluta, porque la teoría de las probabilidades establece que cuando las probabilidades de estar equivocado son mínimas, entonces probablemente has descubierto la verdad.

Caine permaneció en silencio durante unos segundos a la espera de que calara la explicación, y luego continuó:

—Esto nos lleva a la teoría más controvertida de Laplace, que a menudo se denomina su «demonio». Dos años después de la publicación de Teoría analítica de las probabilidades, escribió un trabajo titulado Ensayo filosófico sobre las probabilidades. Allí aparece su segunda cita más famosa. —Caine cogió sus notas y leyó en voz alta la cita de Laplace.

»"Si en un instante dado una inteligencia que pudiese comprender todas las fuerzas que animan a la naturaleza y las respectivas posiciones de los seres que la componen —una inteligencia lo suficientemente vasta para someter todos estos datos al análisis— englobase en la misma fórmula los movimientos de los grandes cuerpos del universo y de los átomos más pequeños. Para ella, no habría nada incierto y el futuro, como el pasado, estaría presente ante sus ojos."

»En otras palabras —continuó Caine—, dado que Laplace creía que el universo era determinista, planteó que si alguien comprendía todas las leyes de la física y sabía las posiciones de todas las partículas subatómicas en el universo en un único momento dado, entonces ese alguien sabría todo lo que había ocurrido y estaría en condiciones de predecir exactamente toda la historia futura.

—Es imposible saberlo todo —señaló Amber.

—No hay nada imposible —replicó Caine—, aunque algunas cosas son infinitamente improbables. —Caine aprovechó para beber un sorbo de agua mientras los estudiantes asimilaban sus palabras—. En la actualidad los científicos se refieren a su teoría como el demonio de Laplace.