Diáspora (6 page)

Yatima recoloreó el toroide con tonos de verde que variaban uniformemente para revelar la cuarta coordenada oculta. Las superficies externas e internas del «cilindro» sólo igualaban sus colores en los anillos superiores e inferiores, donde se encontraban en la cuarta dimensión; en los demás lugares, tonos diferentes a cada lado demostraban que seguían separados.

Radiya dijo:

—Muy ingenioso. Bien, ¿puedes hacer lo mismo con la esfera?

Yatima mostró una mueca de frustración.

—¡Lo he intentado! Intuitivamente,
parece
imposible... pero antes de dar con el truco adecuado, habría dicho lo mismo en el caso del toroide. —Creó una esfera mientras hablaba para luego deformarla formando un cubo. Pero no servía de nada... se limitaba simplemente a concentrar toda la curvatura en las singularidades de las esquinas, no la eliminaba.

—Vale. Aquí tienes una pista. —Radiya convirtió el cubo de nuevo en esfera y sobre ella pintó tres grandes círculos negros: un ecuador y dos meridianos completos separados por 90 grados.

—¿En qué he dividido la superficie?

—En triángulos. Ocho triángulos; cuatro en el hemisferio norte, cuatro en el sur.

—E independientemente de lo que le hagas a la superficie, doblarla, estirarla, retorcerla en mil dimensiones diferentes... siempre podrás dividirla de la misma forma, ¿no? ¿Ocho triángulos, dibujados entre seis puntos?

Yatima experimentó, deformando la esfera en una sucesión de formas diferente.

—Creo que tienes razón. ¿Pero de qué nos sirve?

Radiya permaneció en silencio. Yatima hizo que el objeto se volviese transparente, para poder ver simultáneamente todos los triángulos. Formaban una especie de red basta, una red de seis puntos, una bolsa de cuerdas. Enderezó las doce líneas, lo que ciertamente aplastó los triángulos... pero transformó la esfera en un diamante octaédrico, lo que resultaba tan desastroso como un cubo. Cada cara del diamante era perfectamente euclídea, pero las seis puntas eran depósitos infinitamente concentrados de curvatura.

Probó a alisar y aplastar los seis puntos. Fue fácil... pero hizo que los ocho triángulos se volviesen tan doblados y no— euclídeos como en la esfera original. Parecía «evidente» que los puntos y los triángulos no podían ser planos simultáneamente... pero Yatima seguía sin dar con la razón para que esas dos metas fuesen irreconciliables. Midió los ángulos allí donde se encontraban cuatro triángulos, alrededor de lo que antes había sido una punta del diamante: 90, 90, 90, 90. Lo que tenía todo el sentido: para ser planos, y unirse sin dejar huecos, debían sumar 360 grados. Volvió al diamante sin embotar y midió los mismos ángulos: 60, 60, 60, 60. Un total de 240, demasiado pequeño para ser plano; todo lo que fuese menor de un círculo completo obligaba a la superficie a formar la punta de un cono...

¡Eso era!
¡Ése era el núcleo de la contradicción! Todo vértice necesitaba a su alrededor ángulos con un total de 360 grados para poder ser plano... mientras que todo triángulo euclídeo plano sólo daba 180 grados. La mitad. Por tanto, si hubiese el doble de triángulos que de vértices, todo encajaría a la perfección... pero con seis vértices y sólo ocho triángulos no había planitud suficiente.

Yatima sonrió triunfante, y contó la serie de razonamientos. Radiya dijo con tranquilidad:

—Bien. Acabas de descubrir el teorema de Gauss-Bonnet, que relaciona el número de Euler con la curvatura total.

—¿En serio? —Yatima se sintió lleno de orgullo; Euler y Gauss eran mineros legendarios... carnosos muertos tiempo atrás, pero con habilidades rara vez igualadas.

—No del todo. —Radiya sonrió un poco—. Deberías buscar su expresión concreta. Creo que ya puedes abordar un tratamiento formal de los espacios de Riemann. Pero si empieza a parecerte demasiado abstracto, no vaciles en volver un poco atrás y jugar con algunos ejemplos más.

—Vale. —No hizo falta que se le dijera a Yatima que la lección había concluido. Alzó la mano en gesto de agradecimiento para luego retirar su icono y su punto de vista.

Durante un momento Yatima quedó sin panorama, con los canales de entrada aislados, a solas con sus pensamientos. Sabía bien que todavía no comprendía por completo la curvatura —había docenas de otras formas de considerarla— pero al menos había comprendido un fragmento más de la imagen global.

A continuación saltó a las Minas de Verdad.

Llegó a un espacio cavernoso con paredes de piedra oscura, agregados de minerales ígneos rocosos, arcillas marrones, venas de rojo óxido, En el suelo de la caverna había incrustado un objeto extraño y luminoso: docenas de chispas flotantes de luz, encerradas en un conjunto elaborado de membranas etéreas. Las membranas formaban familias concéntricas y anidadas, capas de cebolla dalinianas... cada serie culminando en una burbuja alrededor de una única chispa u ocasionalmente un grupo de dos o tres. A medida que las chispas se desplazaban, las membranas fluían para acomodarlas, de tal forma que ninguna chispa escapaba a su nivel de encierro.

En cierto sentido, las Minas de Verdad no eran más que otro panorama índice. De forma similar eran accesibles cientos de miles de selecciones especializadas de los contenidos de la biblioteca... y Yatima había subido por el árbol evolutivo, había saltado por la tabla periódica, había recorrido las líneas temporales, como si fuesen avenidas, de las historias de carnosos, gleisners y ciudadanos. Medio megatau antes, il había nadado por la célula eucariota; todas las proteínas, todos los nucleótidos, todos los carbohidratos que atravesaban el citoplasma emitían etiquetas gestalt que referenciaban todo lo que la biblioteca tenía que decir sobre la molécula en cuestión.

Pero en las Minas de Verdad, las etiquetas no eran simples referencias; incluían las expresiones completas de las definiciones, axiomas o teoremas concretos representados por el objeto. Las Minas eran autocontenidas; todos los resultados matemáticos demostrados por los carnosos y sus descendientes se mostraban al completo. Las exégesis de la biblioteca eran útiles... pero las verdades en sí estaban todas allí.

El objeto luminoso enterrado en el suelo de la caverna emitía la definición de un espacio topológico: un conjunto de puntos (las chipas), agrupados en «subconjuntos abiertos» (el contenido de una o más de las membranas) que especificaban cómo se conectaban los puntos entre sí... sin tener que recurrir a ideas de «distancia» o «dimensión». Como una especie de conjunto primario sin ninguna estructura, era lo más básico que se podía ser: el antecesor común de virtualmente todas las entidades dignas de recibir el nombre de «espacio», por exóticas que fuesen. Un único túnel llevaba al interior de la caverna, ofreciendo un enlace a los conceptos previos necesarios, y media docena de túneles permitían salir, inclinándose ligeramente hacia «abajo» en la roca, siguiendo distintas implicaciones de la definición.
Supongamos que T es un espacio topológico... entonces ¿qué
se
deduce
? Dichas rutas estaban pavimentadas con pequeñas gemas, cada una emitiendo un resultado intermedio de camino a un teorema.

Todos los túneles de las Minas se habían construido según los pasos de una prueba hermética; todo teorema, por muy profundamente enterrado que estuviese, podía retrotraerse a todas sus suposiciones. Y para establecer con precisión lo que se entendía por «demostración», todos los campos de la matemática empleaban sus propias colecciones de sistemas formales: conjuntos de axiomas, definiciones y reglas de deducción, junto con el vocabulario especializado necesario para expresar con precisión teoremas y conjeturas.

La primera vez que se vio con Radiya en las Minas, Yatima le había preguntado por qué algún programa no consciente no podía tomar todos los sistemas formales empleados por los mineros y deducir automáticamente todos los teoremas... ahorrando mucho trabajo para los ciudadanos.

Radiya respondió:

—Dos es primo. Tres es primo. Cinco es primo. Siete es primo. Once es primo. Trece es primo. Diecisiete es...

—¡Alto!

—Si no me aburriese, podría seguir así hasta el Big Crunch y no descubriría nada nuevo.

—Pero podríamos ejecutar a la vez algunos miles de millones de programas, cada uno explorando en direcciones diferentes. No importaría si algunos no descubriesen jamás nada interesante.

—¿Qué «direcciones diferentes» escogerías tú?

—No lo sé. ¿Todas?

—Algunos miles de millones de topos ciegos no te permitirían hacerlo. Supongamos que tienes un único axioma, que se acepta como tal, y diez pasos lógicos válidos que pueden emplearse para generar nuevas proposiciones. Después de un paso, tienes diez verdades a explorar. —Radiya se lo había demostrado construyendo una pequeña mina en miniatura, que se iba dividiendo, en el espacio frente a Yatima—. Después de diez pasos, tienes diez mil millones, diez a la décima potencia. —El abanico de túneles en la mina de juguete ya era una mancha sin detalles... pero Radiya la llenó con diez mil millones de topos luminosos, haciendo que el frente de mina reluciese con intensidad—. Después de veinte pasos, tendrías
diez a la veinte
. Demasiados para explorar a la vez, por un factor de diez mil millones. ¿Cómo vas a escoger el correcto? ¿O compartirás los topos entre todos esos senderos... ralentizándolos hasta el punto de que sean inútiles? —Los topos dispersaron su luz proporcionalmente... y el resplandor de actividad se volvió demasiado débil como para ser visible—. El crecimiento exponencial es una maldición en todas sus manifestaciones. ¿Sabes que casi acabó con los carnosos? Si estuviésemos totalmente locos, podríamos intentar convertir todo el planeta, o toda la galaxia, en una máquina capaz de producir la fuerza bruta computacional necesaria... pero incluso entonces dudo que llegásemos al Último Teorema de Fermat antes del final del universo.

Yatima había insistido.

—Podríamos hacer que los programas fuesen más complejos. Capaces de mayor discriminación. Que generalicen a partir de ejemplos, de conjeturas... que busquen pruebas.

Radiya había admitido la posibilidad.

—Quizá podría hacerse. Algunos carnosos intentaron esa aproximación antes del Introdus... y si tienes una vida corta, eres lento y te distraes con facilidad, casi tiene sentido dejar que un software no consciente encuentre las vetas con las que tú jamás darás antes de morir.
Pero, ¿para nosotros
? ¿Por qué deberíamos sacrificar la oportunidad de disfrutar?

Ahora que había disfrutado directamente de la Minería de Verdad, Yatima estaba totalmente de acuerdo. En ningún panorama o archivo de biblioteca, en ninguna entrada de satélite o imagen de zángano, había nada más hermoso que la matemática. Envió al panorama una etiqueta interrogativa e iluminó el camino al teorema de Gauss-Bonnet con un resplandor azul sólo para su punto de vista. Flotó lentamente hacia abajo por uno de los túneles, leyendo todas las etiquetas del sendero enjoyado.

Aprender era un proceso extraño. Podría haber hecho que su exoyó enviase toda la información en bruto directamente a su mente, en un instante... podría haber envuelto una copia completa de las Minas de Verdad, como una ameba tragándose un planeta... pero asi los hechos serían apenas más accesibles de lo que eran ahora, y no habría logrado incrementar su entendimiento. La única forma de comprender un concepto matemático era verlo en multitud de contextos diferentes, considerar docenas de ejemplos concretos y dar con al menos dos o tres metáforas para impulsar las elucubraciones intuitivas.
Curvatura significa que los ángulos de un triángulo podrían no sumar 180 grados. Curvatura significa que tienes que estirar o contraer un plano de forma no uniforme para hacerle envolver una superficie. Curvatura, significa que no hay espacio para lineas paralelas... o que hay espacio para mucho más de lo que llegaron a soñar los euclideos
. Comprender una idea significaba entremezclarla tan totalmente con todos los otros símbolos de tu mente que acababa modificando la forma en que pensabas sobre todo.

Aún así, la biblioteca estaba repleta de los métodos que antiguos mineros habían empleado para dar forma a los teoremas, y Yatima podría haber tomado esos detalles junto con los datos en bruto, que le hubiesen concedido el entendimiento archivado de miles de ciudadanos Konishi que habían recorrido antes esa misma ruta. El injerto mental adecuado le habría permitido ponerse al día sin esfuerzo con los mineros vivos que penetraban en la veta a mayor profundidad siguiendo su propia dirección... con el coste de que il fuese, hablando matemáticamente, poco más que un clon a trozos de illos, capaz sólo de seguir sus sombras.

Si quería llegar a ser minero por derecho... realizando y comprobando sus propias conjeturas en la mina, como Gauss y Euler, Riemann y Levi-Civita, de Rahm y Carian, Radiya y Blanca... entonces Yatima no disponía de ningún atajo, ninguna alternativa a explorar las Minas de primera mano. No podía tener ninguna esperanza de encontrar una dirección novedosa, una ruta que nadie hubiese escogido antes, sin una aproximación nueva a los viejos resultados. Sólo cuando hubiese construido su propio mapa de las minas —arrugado y manchado idiosincrásicamente, adornado y anotado de forma distinta a los demás— podría empezar a estimar dónde yacía enterrada la próxima veta de verdades sin descubrir.

Yatima estaba de vuelta en la sabana de su panorama hogar, jugando con un toroide cubierto de polígonos, cuando Inoshiro envió su tarjeta de llamada; la etiqueta penetró en el panorama como un olor familiar en el viento. Yatima vaciló —se sentía feliz con lo que hacía, no deseaba interrupciones— pero luego se rindió, respondiendo con una etiqueta de bienvenida y concediendo a Inoshiro acceso al panorama.

—¿Qué es esa cosa horrible? —Inoshiro miró con desprecio el toroide minimalista. Desde que había empezado a visitar a Ashton-Laval parecía haber decidido convertirse en juez estético de todo lo que había en un panorama. Todo lo que Yatima había visto, en el panorama hogar de Inoshiro se agitaba incesantemente, relucía en todo el espectro y poseía una dimensión fractal de al menos dos coma nueve.

—El bosquejo de una prueba de que el toroide tiene una curvatura total de cero. Estoy pensando en convertirlo en un elemento permanente.

Inoshiro gimió.

—El
status quo
te ha conquistado por completo. El huérfano hace lo que el huérfano ve.