Borges y la Matemática (4 page)

Para popularizar esta paradoja, Russell pensó en el barbero de un pueblo que únicamente afeita a los hombres que no se afeitan a sí mismos. En principio la existencia de un hombre con esta honesta profesión parece razonable: el barbero de un pueblo, diría uno, es precisamente el hombre que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Ahora bien, ¿el barbero debe afeitarse a sí mismo, o no debe afeitarse a sí mismo? Si se afeita a sí mismo, deja de estar en la clase de los hombres a los que puede afeitar. O sea, no puede afeitarse a sí mismo. Pero, por otro lado, si no se afeita a sí mismo queda dentro de la clase de los hombres que no se afeitan a sí mismos y, por lo tanto, se tiene que afeitar. El barbero está atrapado en un limbo lógico en que su barba crece ¡y no puede ni afeitarse ni no afeitarse a sí mismo! (
risas
).

Hay una variación también atribuida a Russell y que la usa Borges elípticamente en
La biblioteca de Babel
. Al principio del cuento
La biblioteca de Babel
, el bibliotecario está a la búsqueda del catálogo de todos los catálogos. Les propongo que piensen para la semana próxima en la formulación de la paradoja en términos de catálogos. Porque ¿qué son en el fondo los catálogos? Son libros que tienen como texto títulos de otros libros. Hay catálogos que se incluyen a sí mismos entre sus títulos y otros que no. De esa manera uno puede llegar a la misma paradoja.

Estos tres elementos que acabamos de examinar aparecen una y otra vez en la obra de Borges moldeados en formas literarias de diversas maneras. En el ensayo
El cartesianismo como retórica (o ¿por qué Borges interesa a los científicos?)
, del libro
Borges y la Ciencia
, la autora, Lucila Pagliai, se pregunta por qué los textos de Borges son tan caros a los investigadores científicos, a los físicos, a los matemáticos. La conclusión a la que llega es que hay en Borges una matriz esencialmente ensayística, sobre todo en la obra madura. Y por supuesto, todo el texto trata de fundamentar esto. Es un ensayo agudo, creo que es una parte de la verdad. Borges es un escritor que procede desde una idea: «en el principio era la idea», y concibe sus ficciones como encarnaciones o avatares de una concepción abstracta. Hay también fragmentos de argumentación lógica en muchos de los relatos. Este tipo de matriz ensayística a la que ella se refiere es, indudablemente, uno de los elementos que marcan cierta similitud con el pensamiento científico. En un pequeño artículo que escribí sobre el mismo tema,
El cuento como sistema lógico
, apunto a los elementos de estilo que tienen afinidad con la estética matemática. Leo de allí la tesis principal.

Cuando Borges escribe, típicamente acumula ejemplos, analogías, historias afines, variaciones de lo que se propone contar. De esta manera, la ficción principal que desarrolla es a la vez particular y genérica, y sus textos resuenan como si el ejemplo particular llevara en sí y aludiera permanentemente a una forma universal. Del mismo modo proceden los matemáticos. Cuando estudian un ejemplo, un caso particular, lo examinan con la esperanza de descubrir en él un rasgo más intenso, y general, que puedan abstraer en un teorema. Borges, les gusta creer a los matemáticos, escribe exactamente como lo harían ellos si los pusieran a la prueba: con un orgulloso platonismo, como si existiera un cielo de ficciones perfectas y una noción de verdad para la literatura.

Esto resume, de algún modo, lo que yo pienso sobre la articulación del pensamiento matemático en el estilo de Borges. Por ahora es muy poco más de lo que los matemáticos llaman un
claim
, algo que se afirma por anticipado pero que debe probarse en algún momento. En la próxima charla intentaré fundamentar esta afirmación y leeré algunos de los textos no matemáticos de Borges bajo esta luz. Les agradezco que hayan estado aquí, hasta la semana próxima.

Buenas tardes, muchas gracias por persistir en esta segunda charla. Quisiera empezar con una breve recapitulación de lo que vimos la clase pasada, e iré aportando algunas evidencias más sobre lo que dijimos. Quiero llamarles la atención sobre este libro,
Textos recobrados
de Borges, de la época 1931 a 1955 (Emecé). Es parte de un trabajo de recuperación de todos sus textos, hay ensayos realmente notables y se ve también de cuerpo entero al Borges polemista. Habíamos hablado en el principio del principio sobre la educación matemática de Borges. En este libro hay un artículo que se llama
La cuarta dimensión
. Es un artículo bastante técnico, que permite apreciar que Borges leía con profundidad textos de matemática, en particular de geometría. Tiene algo que ver con la cuestión que habíamos dejado pendiente al final de la clase anterior, la cuestión de lo genérico, lo concreto, la formación de conceptos, el platonismo, etc. Dice en un momento: «la superficie, el punto y la línea son ideales geométricos pero así mismo lo es el volumen, y así mismo lo puede ser el hipervolumen de cuatro dimensiones. No habrá en el universo material un solo triángulo absolutamente equilátero pero lo podemos intuir. No habrá un solo hipercono pero alguna vez lo intuiremos». Dice luego: «Esa promesa nos la da el libro de Hinton,
Una nueva era del pensamiento
». Y a continuación agrega sobre este libro: «Lo he comprado, lo he comenzado a leer, lo he prestado». Esto último confirma algo de lo que intentaba decir, la cantidad de libros de matemática en una biblioteca no indica nada sobre la educación matemática de su dueño porque los libros de matemática son fáciles de empezar y difíciles de terminar. Digamos, que se prestan fácilmente en el medio (
risas
).

Borges prosigue: «Queda un hecho innegable, rehusar la cuarta dimensión es limitar el mundo, afirmarla es enriquecerlo. Mediante la tercera dimensión, la dimensión de altura, un punto encarcelado en un círculo puede huir sin tocar la circunferencia».

En efecto, el punto «escapa» hacia arriba. Y dice a continuación —en lo que ya se percibe como el germen de un posible cuento—, la transición de la que ya habíamos hablado de un problema abstracto a una ficción, el pasaje a la encarnación literaria de una idea matemática: «Mediante la cuarta dimensión, la no imaginable, un hombre encarcelado en un calabozo podría salir sin atravesar el techo, el piso o los muros».

Hablamos también la clase pasada del infinito, mostramos que en el infinito hay partes que equivalen al todo, y abstrayendo esta propiedad, definimos lo que llamamos
objetos recursivos
. Quiero decir que algunas personas me trajeron muy buenos ejemplos de objetos recursivos y anti-recursivos. Un número periódico sería un objeto recursivo: basta conocer el período para conocer todo el número. En cambio, un número como π sería un objeto anti-recursivo porque no puede anticiparse cómo es el resto del número por más que se conozca una parte tan larga como se quiera. Otro ejemplo de objeto anti-recursivo es la lista de números que corresponde a las sucesivas bolas de una ruleta en el casino, hay una definición del azar que se basa en esta idea. Ésos serían ejemplos matemáticos. También me han observado que los idiomas son objetos recursivos. Efectivamente, la piedra con jeroglíficos de la ciudad de Rosetta bastó para reconstruir el egipcio antiguo. Otro ejemplo de objeto anti-recursivo: un cuento, un cuento que sea suficientemente riguroso no admite que se le saque ninguna parte. También, cualquier habitación con un espejo se convierte en un objeto recursivo. O bien, una pintura como
Las Meninas
, de Velázquez, o
La condición humana
, de Magritte, en las que una parte del cuadro es el lienzo donde se reproduce el todo.

Bien, después comenté en algún momento que los matemáticos hasta 1870 pensaban que había un solo infinito al que designaban con el símbolo ∞, y luego vino Cantor y mostró que hay un primer infinito que es el de los números naturales, al que designó con el símbolo ℵ
₀
. Probamos que este primer infinito de los naturales es también el tipo de infinito de los números fraccionarios y el infinito de todos los libros imaginables. Y yo no dije más nada. Lo que faltó decir, que lo digo ahora, es que en realidad el infinito de los naturales es el más ralo posible. Hay toda una cadena de infinitos cada vez más nutridos a partir de éste. Los números reales tienen un infinito estrictamente mayor. Y se pueden construir, mediante la operación de agregar todas las partes de un conjunto dado, infinitos cada vez mejor alimentados, cada vez más populosos. Hay toda una torre de infinitos, una jerarquía interminable de diferentes clases de infinito.

También comentamos que el conjunto de los números fraccionarios entre 0 y 1 era el Libro de Arena. El 0 es la tapa, el 1 la contratapa y en el medio están todas las páginas. Dijimos que no había ninguna contradicción entre el hecho de que no pudiera abrirse el libro en una primera página y el hecho de que todas las páginas estuvieran numeradas. Mostramos, con el recorrido diagonal de Cantor, que si hay un imprentero lo suficientemente hábil como para coser todas las páginas del Libro de Arena, también las puede enumerar.

Hablamos luego de la esfera de Alanus de Insulis, con centro en todas partes y la circunferencia en ninguna. Me han observado sobre esta esfera que técnicamente Borges habría debido escribir quizá: «con centro en todas partes y la
superficie
en ninguna», ya que la noción correspondiente a la de circunferencia para el círculo es la de superficie para la esfera. Yo creo que la frase perdería algo de su poder inmediato de evocación y quiero recordar aquí lo que dijimos sobre el trasvasamiento de la matemática en términos literarios: Borges, creo yo, arrastra en este punto el ejemplo del círculo y de aquí proviene la «imprecisión». Pero podemos también pensar que la circunferencia de una esfera es la línea del Ecuador, que de algún modo ciñe y da límite a la esfera en el caso finito.

Luego fuimos a la tercera paradoja: el barbero que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. Yo les hice notar que hay una variante con los catálogos de una biblioteca. En efecto, hay catálogos que deben mencionarse a sí mismos en la lista de sus títulos. Por ejemplo, si el catálogo de los libros en español está escrito en español, debe incluirse a sí mismo. Uno puede pensar en el catálogo de todos los libros que no se mencionen a sí mismos. Y de esa manera llegamos al mismo absurdo: este libro hipotético no podría ni mencionarse ni no mencionarse a sí mismo. Es decir, no existe el catálogo de todos los posibles catálogos. Borges conocía muy bien esta variante de la paradoja porque la desliza en
La biblioteca de Babel
: «...he peregrinado en busca de un libro, acaso del catálogo de catálogos».

En realidad también la esfera con centro en todas partes y circunferencia en ninguna reaparece en
La biblioteca de Babel
. Sólo que Borges decide aquí reemplazar la esfera por hexágonos. Le atribuye a las salas una forma hexagonal, creo yo, porque el hexágono es un polígono cuya forma evoca ya suficientemente a la circunferencia. Sería muy incómodo, chocaría con la realidad concreta como la conocemos pensar en estantes que sean curvos si los libros son rectangulares. Borges contempla por un momento esta posibilidad, que la atribuye a una visión mística: «Los místicos pretenden que el éxtasis les revela una cántara circular con un gran libro circular de lomo continuo, que da toda la vuelta de las paredes... ese libro cíclico es Dios». Entonces una figura cercana a la circularidad que encuentra Borges es el hexágono, y dice, con esta pequeña variante: «La biblioteca es una esfera cuyo centro cabal es cualquier hexágono, cuya circunferencia es inaccesible».

Así llegamos, finalmente, a la discusión de lo genérico versus lo concreto, que es el primer elemento de estilo que me interesa examinar. Veamos en otros cuentos cómo reaparece esta misma idea. Uno es
La escritura del Dios
. En
La escritura del Dios
, ustedes recuerdan, hay un sacerdote encerrado en una cueva que una vez por día puede ver las manchas de un tigre. Su Dios escribió una palabra sagrada en algún lugar del universo y él conjetura que esa palabra puede estar cifrada en las manchas movedizas del tigre. «No diré las fatigas de mi labor» dice en un momento. «Más de una vez grité a la bóveda que era imposible descifrar ese texto.
Gradualmente el enigma concreto que me atareaba me inquietó menos que el enigma genérico de una sentencia escrita por un Dios
. ¿Qué tipo de sentencia (me pregunté) construirá una mente absoluta?». Vemos aquí otra vez la articulación de una situación concreta con un problema abstracto.

Hablamos de los ejemplos afines con los que a Borges le gusta rodear sus ficciones. Es un procedimiento recurrente, incluso en
El aleph
. Él dice en un momento que el de la calle Garay sería un falso aleph, y enumera otras versiones posibles, incluyendo una columna de piedra en una mezquita, que encerraría en sí el rumor de todo el universo. También, en
Funes el memorioso
: «Irineo empezó por enumerar, en latín y español, los casos de memoria prodigiosa registrados por la
Naturalis historia
: Ciro, rey de los persas, que sabía llamar por su nombre a todos los soldados de sus ejércitos; Mitrídates Eupator, que administraba la justicia en los 22 idiomas de su imperio; Simónides, inventor de la mnemotecnia», etc. Esto, debo decir, no sólo es un procedimiento de tipo «matemático» que acumula ejemplos para entender qué es lo esencial o qué es lo general, sino también una estrategia, que describe muy bien Piglia en su ensayo
¿Existe la novela argentina?
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